Theorem dvferm1lem 23747

Description: Lemma for dvferm 23751. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvferm.a	|- ( ph -> F : X --> RR )
dvferm.b	|- ( ph -> X C_ RR )
dvferm.u	|- ( ph -> U e. ( A (,) B ) )
dvferm.s	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ X )
dvferm.d	|- ( ph -> U e. dom ( RR _D F ) )
dvferm1.r	|- ( ph -> A. y e. ( U (,) B ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) )
dvferm1.z	|- ( ph -> 0 < ( ( RR _D F ) ` U ) )
dvferm1.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
dvferm1.l	|- ( ph -> A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
dvferm1.x	|- S = ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 )

Assertion

Ref	Expression
dvferm1lem	|- -. ph

Distinct variable groups:   y, z, A   y, B, z   y, F, z   y, U, z   y, X, z   ph, y   y, S, z   z, T

Allowed substitution hints:   ph( z)   T( y)

Proof of Theorem dvferm1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvferm.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : X --> RR )
2		dvferm.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X C_ RR )
3		dvfre 23714	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : X --> RR /\ X C_ RR ) -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) : dom ( RR _D F ) --> RR )
5		dvferm.d	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. dom ( RR _D F ) )
6	4, 5	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` U ) e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) ` U ) e. CC )
8	7	subidd 10380	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) ` U ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) = 0 )
9		dvferm.u	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. ( A (,) B ) )
10		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. ( A (,) B ) -> ( A (,) B ) =/= (/) )
11		ndmioo 12202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A (,) B ) = (/) )
12	11	necon1ai 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A (,) B ) =/= (/) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
13	9, 10, 12	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
14	13	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
15		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( U e. ( A (,) B ) -> ( A < U /\ U < B ) )
16	9, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A < U /\ U < B ) )
17	16	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A < U )
18		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A (,) B ) C_ RR
19	18, 9	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U e. RR )
20	19	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. RR* )
21		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ U e. RR* ) -> ( A < U -> A <_ U ) )
22	14, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A < U -> A <_ U ) )
23	17, 22	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A <_ U )
24		iooss1 12210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ A <_ U ) -> ( U (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
25	14, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U (,) B ) C_ ( A (,) B ) )
26		dvferm.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ X )
27	25, 26	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U (,) B ) C_ X )
28		dvferm1.x	. . . . . . . . . . . 12 |- S = ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 )
29	13	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B e. RR* )
30		dvferm1.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> T e. RR+ )
31	30	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> T e. RR )
32	19, 31	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( U + T ) e. RR )
33	32	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( U + T ) e. RR* )
34	29, 33	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR* )
35		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -oo e. RR* )
37		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( U e. RR -> -oo < U )
38	19, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -oo < U )
39	16	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U < B )
40	36, 20, 29, 38, 39	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -oo < B )
41		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U + T ) e. RR -> -oo < ( U + T ) )
42	32, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -oo < ( U + T ) )
43		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B = if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) -> ( -oo < B <-> -oo < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
44		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U + T ) = if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) -> ( -oo < ( U + T ) <-> -oo < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
45	43, 44	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -oo < B /\ -oo < ( U + T ) ) -> -oo < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
46	40, 42, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -oo < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
47		xrmin2 12009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. RR* /\ ( U + T ) e. RR* ) -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <_ ( U + T ) )
48	29, 33, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <_ ( U + T ) )
49		xrre 12000	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR* /\ ( U + T ) e. RR ) /\ ( -oo < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) /\ if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <_ ( U + T ) ) ) -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR )
50	34, 32, 46, 48, 49	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR )
51	19, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) e. RR )
52	51	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) e. RR )
53	28, 52	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S e. RR )
54	19, 30	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U < ( U + T ) )
55		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B = if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) -> ( U < B <-> U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
56		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U + T ) = if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) -> ( U < ( U + T ) <-> U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
57	55, 56	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U < B /\ U < ( U + T ) ) -> U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
58	39, 54, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
59		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. RR /\ if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR ) -> ( U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <-> U < ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) ) )
60	19, 50, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <-> U < ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) ) )
61	58, 60	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U < ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) )
62	61, 28	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U < S )
63	53	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S e. RR* )
64		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. RR /\ if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) e. RR ) -> ( U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <-> ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
65	19, 50, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( U < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <-> ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) )
66	58, 65	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( U + if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) ) / 2 ) < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
67	28, 66	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S < if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) )
68		xrmin1 12008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR* /\ ( U + T ) e. RR* ) -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <_ B )
69	29, 33, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( B <_ ( U + T ) , B , ( U + T ) ) <_ B )
70	63, 34, 29, 67, 69	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < B )
71		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( S e. ( U (,) B ) <-> ( S e. RR /\ U < S /\ S < B ) ) )
72	20, 29, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S e. ( U (,) B ) <-> ( S e. RR /\ U < S /\ S < B ) ) )
73	53, 62, 70, 72	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( U (,) B ) )
74	27, 73	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. X )
75	19, 62	gtned 10172	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S =/= U )
76		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( S e. ( X \ { U } ) <-> ( S e. X /\ S =/= U ) )
77	74, 75, 76	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. ( X \ { U } ) )
78		dvferm1.l	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
79	19, 53, 62	ltled 10185	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U <_ S )
80	19, 53, 79	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( S - U ) ) = ( S - U ) )
81	53, 50, 32, 67, 48	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S < ( U + T ) )
82	53, 19, 31	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( S - U ) < T <-> S < ( U + T ) ) )
83	81, 82	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S - U ) < T )
84	80, 83	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( S - U ) ) < T )
85	75, 84	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) )
86		neeq1 2856	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( z =/= U <-> S =/= U ) )
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( z - U ) = ( S - U ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( abs ` ( z - U ) ) = ( abs ` ( S - U ) ) )
89	88	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( ( abs ` ( z - U ) ) < T <-> ( abs ` ( S - U ) ) < T ) )
90	86, 89	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( z = S -> ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) <-> ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) ) )
91		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = S -> ( F ` z ) = ( F ` S ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = S -> ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) = ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) )
93	92, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = S -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) = ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = S -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) = ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = S -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) = ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
96	95	breq1d 4663	. . . . . . . . . 10 |- ( z = S -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) <-> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) )
97	90, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( z = S -> ( ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) <-> ( ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
98	97	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( S e. ( X \ { U } ) -> ( A. z e. ( X \ { U } ) ( ( z =/= U /\ ( abs ` ( z - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` U ) ) / ( z - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) -> ( ( S =/= U /\ ( abs ` ( S - U ) ) < T ) -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
99	77, 78, 85, 98	syl3c 66	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) )
100	1, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` S ) e. RR )
101	26, 9	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. X )
102	1, 101	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` U ) e. RR )
103	100, 102	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) e. RR )
104	53, 19	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( S - U ) e. RR )
105	19, 53	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U < S <-> 0 < ( S - U ) ) )
106	62, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( S - U ) )
107	104, 106	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S - U ) e. RR+ )
108	103, 107	rerpdivcld 11903	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) e. RR )
109	108, 6, 6	absdifltd 14172	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) < ( ( RR _D F ) ` U ) <-> ( ( ( ( RR _D F ) ` U ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) /\ ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < ( ( ( RR _D F ) ` U ) + ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) ) )
110	99, 109	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( RR _D F ) ` U ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) /\ ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) < ( ( ( RR _D F ) ` U ) + ( ( RR _D F ) ` U ) ) ) )
111	110	simpld 475	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( RR _D F ) ` U ) - ( ( RR _D F ) ` U ) ) < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) )
112	8, 111	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) )
113		gt0div 10889	. . . . 5 |- ( ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) e. RR /\ ( S - U ) e. RR /\ 0 < ( S - U ) ) -> ( 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) ) )
114	103, 104, 106, 113	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) / ( S - U ) ) ) )
115	112, 114	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) )
116	102, 100	posdifd 10614	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` U ) < ( F ` S ) <-> 0 < ( ( F ` S ) - ( F ` U ) ) ) )
117	115, 116	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( F ` U ) < ( F ` S ) )
118		dvferm1.r	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. ( U (,) B ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) )
119		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = S -> ( F ` y ) = ( F ` S ) )
120	119	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( y = S -> ( ( F ` y ) <_ ( F ` U ) <-> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) ) )
121	120	rspcv 3305	. . . 4 |- ( S e. ( U (,) B ) -> ( A. y e. ( U (,) B ) ( F ` y ) <_ ( F ` U ) -> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) ) )
122	73, 118, 121	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> ( F ` S ) <_ ( F ` U ) )
123	100, 102	lenltd 10183	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` S ) <_ ( F ` U ) <-> -. ( F ` U ) < ( F ` S ) ) )
124	122, 123	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> -. ( F ` U ) < ( F ` S ) )
125	117, 124	pm2.65i 185	1 |- -. ph

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   abscabs 13974   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvferm1  23748