Theorem 0elcarsg 30369

Description: The empty set is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2	⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)

Assertion

Ref	Expression
0elcarsg	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem 0elcarsg

Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 3972	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝑂
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝑂)
3		in0 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∩ ∅) = ∅
4	3	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = (𝑀‘∅)
5		baselcarsg.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
6	4, 5	syl5eq 2668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) = 0)
7		dif0 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 ∖ ∅) = 𝑒
8	7	fveq2i 6194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒)
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅)) = (𝑀‘𝑒))
10	6, 9	oveq12d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)))
12		iccssxr 12256	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
13		carsgval.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 14	sseldi 3601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘𝑒) ∈ ℝ*)
16		xaddid2 12073	. . . . 5 ⊢ ((𝑀‘𝑒) ∈ ℝ* → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (0 +𝑒 (𝑀‘𝑒)) = (𝑀‘𝑒))
18	11, 17	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
19	18	ralrimiva 2966	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))
20		carsgval.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑉)
21	20, 13	elcarsg 30367	. 2 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (∅ ⊆ 𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒 ∩ ∅)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒 ∖ ∅))) = (𝑀‘𝑒))))
22	2, 19, 21	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  𝒫 cpw 4158  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   +_𝑒 cxad 11944  [,]cicc 12178  toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-xadd 11947  df-icc 12182  df-carsg 30364

This theorem is referenced by:  carsggect  30380  omsmeas  30385