Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | omsmeas.o |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑉) |
2 | | omsmeas.r |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
3 | | omsf 30358 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑄 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) →
(toOMeas‘𝑅):𝒫
∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)) |
4 | 1, 2, 3 | syl2anc 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom 𝑅⟶(0[,]+∞)) |
5 | | omsmeas.m |
. . . . . . 7
⊢ 𝑀 = (toOMeas‘𝑅) |
6 | 5 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 = (toOMeas‘𝑅)) |
7 | | fdm 6051 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞) → dom 𝑅 = 𝑄) |
8 | 2, 7 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝑄) |
9 | 8 | eqcomd 2628 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 = dom 𝑅) |
10 | 9 | unieqd 4446 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄 =
∪ dom 𝑅) |
11 | 10 | pweqd 4163 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝒫 ∪ 𝑄 =
𝒫 ∪ dom 𝑅) |
12 | 6, 11 | feq12d 6033 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)
↔ (toOMeas‘𝑅):𝒫 ∪ dom
𝑅⟶(0[,]+∞))) |
13 | 4, 12 | mpbird 247 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
14 | | omsmeas.s |
. . . . 5
⊢ 𝑆 = (toCaraSiga‘𝑀) |
15 | | uniexg 6955 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑄 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑄 ∈ V) |
16 | 1, 15 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑄
∈ V) |
17 | 16, 13 | carsgcl 30366 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
18 | 14, 17 | syl5eqss 3649 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
19 | 13, 18 | fssresd 6071 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
20 | | omsmeas.d |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∅ ∈ dom 𝑅) |
21 | | omsmeas.0 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑅‘∅) = 0) |
22 | 5, 1, 2, 20, 21 | oms0 30359 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0) |
23 | 16, 13, 22 | 0elcarsg 30369 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∅ ∈
(toCaraSiga‘𝑀)) |
24 | 23, 14 | syl6eleqr 2712 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑆) |
25 | | fvres 6207 |
. . . . 5
⊢ (∅
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = (𝑀‘∅)) |
27 | 26, 22 | eqtrd 2656 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0) |
28 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑔𝑓 |
29 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑓𝑔 |
30 | | id 22 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 = 𝑔 → 𝑓 = 𝑔) |
31 | 28, 29, 30 | cbvdisj 4630 |
. . . . . . 7
⊢
(Disj 𝑓
∈ 𝑒 𝑓 ↔ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔) |
32 | 31 | anbi2i 730 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑒 ≼ ω ∧
Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ↔ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) |
33 | 1 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑄 ∈ 𝑉) |
34 | 2 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
35 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) |
36 | 35 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
37 | 18 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑆 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
38 | 36, 37 | sstrd 3613 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
39 | 38 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) |
40 | 39 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ⊆ ∪ 𝑄) |
41 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ≼ ω) |
42 | 5, 33, 34, 40, 41 | omssubadd 30362 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
43 | 16 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑄 ∈ V) |
44 | 13 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
45 | 22 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀‘∅) = 0) |
46 | | uniiun 4573 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑥 =
∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 |
47 | 46 | fveq2i 6194 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑀‘∪ 𝑥) =
(𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) |
48 | 1 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑄 ∈ 𝑉) |
49 | 2 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
50 | | simpl3 1066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄) |
51 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥) |
52 | 50, 51 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄) |
53 | 52 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
54 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑥 ≼
ω) |
55 | 5, 48, 49, 53, 54 | omssubadd 30362 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑦 ∈ 𝑥 𝑦) ≤ Σ*𝑦 ∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
56 | 47, 55 | syl5eqbr 4688 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
57 | 56 | 3adant1r 1319 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
58 | 57 | 3adant1r 1319 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ≼ ω ∧ 𝑥 ⊆ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘∪ 𝑥)
≤ Σ*𝑦
∈ 𝑥(𝑀‘𝑦)) |
59 | 1 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑄 ∈ 𝑉) |
60 | 2 | 3ad2ant1 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑅:𝑄⟶(0[,]+∞)) |
61 | | simp2 1062 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑥 ⊆ 𝑦) |
62 | | elpwi 4168 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄
→ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
63 | 62 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ 𝑦 ⊆ ∪ 𝑄) |
64 | 5, 59, 60, 61, 63 | omsmon 30360 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
65 | 64 | 3adant1r 1319 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
66 | 65 | 3adant1r 1319 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝑄)
→ (𝑀‘𝑥) ≤ (𝑀‘𝑦)) |
67 | | elpwi 4168 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
68 | 67 | ad2antlr 763 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ 𝑆) |
69 | 68, 14 | syl6sseq 3651 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → 𝑒 ⊆ (toCaraSiga‘𝑀)) |
70 | 43, 44, 45, 58, 66, 41, 69 | carsgclctun 30383 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ (toCaraSiga‘𝑀)) |
71 | 70, 14 | syl6eleqr 2712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∪ 𝑒 ∈ 𝑆) |
72 | | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑒
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒)) |
73 | | uniiun 4573 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ∪ 𝑒 =
∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓 |
74 | 73 | fveq2i 6194 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀‘∪ 𝑒) =
(𝑀‘∪ 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) |
75 | 72, 74 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (∪ 𝑒
∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) |
76 | 71, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪
𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) |
77 | | nfv 1843 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑓((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) |
78 | 68 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑓 ∈ 𝑆) |
79 | | fvres 6207 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑓 ∈ 𝑆 → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
80 | 78, 79 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
81 | 80 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = (𝑀‘𝑓)) |
82 | 77, 81 | esumeq2d 30099 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
83 | 42, 76, 82 | 3brtr4d 4685 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
84 | | snex 4908 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ {∅}
∈ V |
85 | 84 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → {∅} ∈
V) |
86 | 44 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → 𝑀:𝒫 ∪
𝑄⟶(0[,]+∞)) |
87 | 86, 39 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
88 | | elsni 4194 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑓 ∈ {∅} → 𝑓 = ∅) |
89 | 88 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 ∈ {∅} → (𝑀‘𝑓) = (𝑀‘∅)) |
90 | 89, 45 | sylan9eqr 2678 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ {∅}) → (𝑀‘𝑓) = 0) |
91 | 35, 85, 87, 90 | esumpad2 30118 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓)) |
92 | | neldifsnd 4322 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ¬ ∅ ∈ (𝑒 ∖
{∅})) |
93 | | difss 3737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∖ {∅}) ⊆
𝑒 |
94 | | ssdomg 8001 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 → ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆ 𝑒 → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒)) |
95 | 35, 93, 94 | mpisyl 21 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼ 𝑒) |
96 | | domtr 8009 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑒 ∖ {∅}) ≼
𝑒 ∧ 𝑒 ≼ ω) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼
ω) |
97 | 95, 41, 96 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ≼
ω) |
98 | 69 | ssdifssd 3748 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑒 ∖ {∅}) ⊆
(toCaraSiga‘𝑀)) |
99 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔) |
100 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑦𝑔 |
101 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑔𝑦 |
102 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑔 = 𝑦 → 𝑔 = 𝑦) |
103 | 100, 101,
102 | cbvdisj 4630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(Disj 𝑔
∈ 𝑒 𝑔 ↔ Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦) |
104 | 99, 103 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦) |
105 | | disjss1 4626 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑒 ∖ {∅}) ⊆
𝑒 → (Disj 𝑦 ∈ 𝑒 𝑦 → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦)) |
106 | 93, 104, 105 | mpsyl 68 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Disj 𝑦 ∈ (𝑒 ∖ {∅})𝑦) |
107 | 43, 44, 45, 58, 92, 97, 98, 106, 66 | carsggect 30380 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ (𝑒 ∖ {∅})(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖
{∅}))) |
108 | 91, 107 | eqbrtrrd 4677 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ (𝑒 ∖
{∅}))) |
109 | | unidif0 4838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ∪ (𝑒
∖ {∅}) = ∪ 𝑒 |
110 | 109 | fveq2i 6194 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀‘∪ (𝑒
∖ {∅})) = (𝑀‘∪ 𝑒) |
111 | 108, 110 | syl6breq 4694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒(𝑀‘𝑓) ≤ (𝑀‘∪ 𝑒)) |
112 | 71, 72 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = (𝑀‘∪ 𝑒)) |
113 | 111, 82, 112 | 3brtr4d 4685 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)) |
114 | 83, 113 | jca 554 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒))) |
115 | | iccssxr 12256 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0[,]+∞) ⊆ ℝ* |
116 | 19 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
117 | 116, 71 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈
(0[,]+∞)) |
118 | 115, 117 | sseldi 3601 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈
ℝ*) |
119 | 116 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → (𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞)) |
120 | 119, 78 | ffvelrnd 6360 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) ∧ 𝑓 ∈ 𝑒) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
121 | 120 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
122 | | nfcv 2764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑓𝑒 |
123 | 122 | esumcl 30092 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑒 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑓 ∈ 𝑒 ((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) →
Σ*𝑓 ∈
𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
124 | 35, 121, 123 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ (0[,]+∞)) |
125 | 115, 124 | sseldi 3601 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈
ℝ*) |
126 | | xrletri3 11985 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ∈ ℝ*
∧ Σ*𝑓
∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∈ ℝ*) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))) |
127 | 118, 125,
126 | syl2anc 693 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ↔ (((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) ≤ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ∧ Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓) ≤ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒)))) |
128 | 114, 127 | mpbird 247 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑔 ∈ 𝑒 𝑔)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
129 | 32, 128 | sylan2b 492 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ (𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓)) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)) |
130 | 129 | ex 450 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))) |
131 | 130 | ralrimiva 2966 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))) |
132 | 19, 27, 131 | 3jca 1242 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓)))) |
133 | 16, 13, 22, 56, 64 | carsgsiga 30384 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (toCaraSiga‘𝑀) ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)) |
134 | 14, 133 | syl5eqel 2705 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)) |
135 | | elrnsiga 30189 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ (sigAlgebra‘∪ 𝑄)
→ 𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra) |
136 | | ismeas 30262 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ ∪ ran sigAlgebra → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))) |
137 | 134, 135,
136 | 3syl 18 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆) ↔ ((𝑀 ↾ 𝑆):𝑆⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∅) = 0 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑆((𝑒 ≼ ω ∧ Disj 𝑓 ∈ 𝑒 𝑓) → ((𝑀 ↾ 𝑆)‘∪ 𝑒) = Σ*𝑓 ∈ 𝑒((𝑀 ↾ 𝑆)‘𝑓))))) |
138 | 132, 137 | mpbird 247 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑀 ↾ 𝑆) ∈ (measures‘𝑆)) |