Theorem addltmulALT 29305

Description: A proof readability experiment for addltmul 11268. (Contributed by Stefan Allan, 30-Oct-2010.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addltmulALT	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem addltmulALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 < 𝐴)
2		2re 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
4		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		1re 10039	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
7		ltsub1 10524	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
8	3, 4, 6, 7	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ (2 − 1) < (𝐴 − 1)))
9		2cn 11091	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
11		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
12	11	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 + 1) = 2
13	9, 10, 10, 12	subaddrii 10370	. . . . . . . 8 ⊢ (2 − 1) = 1
14	13	breq1i 4660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → ((2 − 1) < (𝐴 − 1) ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
16	8, 15	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → (2 < 𝐴 ↔ 1 < (𝐴 − 1)))
17	1, 16	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) → 1 < (𝐴 − 1))
18		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 < 𝐵)
19	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 2 ∈ ℝ)
20		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
21	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 ∈ ℝ)
22		ltsub1 10524	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ (2 − 1) < (𝐵 − 1)))
24	13	breq1i 4660	. . . . . . 7 ⊢ ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1))
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → ((2 − 1) < (𝐵 − 1) ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
26	23, 25	bitrd 268	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → (2 < 𝐵 ↔ 1 < (𝐵 − 1)))
27	18, 26	mpbid 222	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵) → 1 < (𝐵 − 1))
28	17, 27	anim12i 590	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
29	28	an4s 869	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)))
30		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
31		peano2rem 10348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
32	30, 31	anim12i 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ))
33	32	anim1i 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))))
34		mulgt1 10882	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 1) ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
35	33, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1))) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)))
36	35	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
37	36	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → 1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1))))
38		recn 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
39	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
41		recn 10026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
42	10	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
43	41, 42	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
44	40, 43	anim12i 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)))
45		mulsub 10473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ)) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
47	46	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
48	47	biimpd 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
49	48	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < ((𝐴 − 1) · (𝐵 − 1)) → 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
50	10	mulid2i 10043	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 1) = 1
51		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 · 1) = 1 ↔ 1 = (1 · 1))
52	51	biimpi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 · 1) = 1 → 1 = (1 · 1))
53	50, 52	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 = (1 · 1))
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) = ((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)))
55		mulid1 10037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
56		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 ↔ 𝐴 = (𝐴 · 1))
57	56	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 · 1) = 𝐴 → 𝐴 = (𝐴 · 1))
58	55, 57	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
59	38, 58	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
60	59	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 = (𝐴 · 1))
61		mulid1 10037	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
62	41, 61	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 1) = 𝐵)
63		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 ↔ 𝐵 = (𝐵 · 1))
64	63	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 · 1) = 𝐵 → 𝐵 = (𝐵 · 1))
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 = (𝐵 · 1))
66	65	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 = (𝐵 · 1))
67	60, 66	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
68	54, 67	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))))
69	68	breq2d 4665	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))))
70		readdcl 10019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
71	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
72		remulcl 10021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
73		readdcl 10019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
74	72, 71, 73	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ)
75		ltaddsub2 10503	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
76	70, 71, 74, 75	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ 1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵))))
77		ltadd1 10495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
78	70, 72, 71, 77	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1)))
79	78	bicomd 213	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) ↔ (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
80	79	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) + 1) < ((𝐴 · 𝐵) + 1) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
81	76, 80	sylbird 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + 1) − (𝐴 + 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
82	69, 81	sylbird 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
83	82	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (1 < (((𝐴 · 𝐵) + (1 · 1)) − ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1))) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
84	37, 49, 83	3syld 60	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → ((1 < (𝐴 − 1) ∧ 1 < (𝐵 − 1)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵)))
85	29, 84	mpd 15	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (2 < 𝐴 ∧ 2 < 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   − cmin 10266  2c2 11070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-2 11079

This theorem is referenced by: (None)