Theorem peano2rem 10348

Description: "Reverse" second Peano postulate analogue for reals. (Contributed by NM, 6-Feb-2007.)

Assertion

Ref	Expression
peano2rem	⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Proof of Theorem peano2rem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10039	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		resubcl 10345	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan2 707	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  lem1  10864  addltmul  11268  div4p1lem1div2  11287  nnunb  11288  suprzcl  11457  zbtwnre  11786  rebtwnz  11787  qbtwnre  12030  qbtwnxr  12031  xrinfmsslem  12138  xrub  12142  reltre  12170  elfznelfzo  12573  fldiv4p1lem1div2  12636  fldiv4lem1div2uz2  12637  ceile  12648  intfracq  12658  fldiv  12659  m1modnnsub1  12716  expubnd  12921  bernneq2  12991  expnbnd  12993  cshwidxm1  13553  isercolllem1  14395  tgioo  22599  icoopnst  22738  mbfi1fseqlem6  23487  dvfsumlem1  23789  dvfsumlem2  23790  dgreq0  24021  advlog  24400  atanlogsublem  24642  birthdaylem3  24680  wilthlem1  24794  ftalem5  24803  ppiub  24929  chtublem  24936  chtub  24937  logfaclbnd  24947  logfacbnd3  24948  perfectlem2  24955  lgsval2lem  25032  lgsqrlem2  25072  gausslemma2dlem0c  25083  gausslemma2dlem1a  25090  lgseisenlem2  25101  lgseisen  25104  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  2lgslem1c  25118  2lgsoddprmlem2  25134  rplogsumlem1  25173  selberg2lem  25239  pntrsumo1  25254  pntpbnd1a  25274  colinearalglem4  25789  axlowdimlem16  25837  axeuclidlem  25842  nbusgrvtxm1  26281  pthdlem1  26662  crctcshwlkn0lem1  26702  wwlksm1edg  26767  clwwlksel  26914  numclwwlkovf2exlem2  27212  numclwwlk7  27249  addltmulALT  29305  cvmliftlem2  31268  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  cvmliftlem10  31276  iooelexlt  33210  ltflcei  33397  poimirlem12  33421  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  monoords  39511  supxrgere  39549  infleinflem2  39587  unb2ltle  39642  limsupre3lem  39964  xlimxrre  40057  xlimmnfv  40060  stoweidlem14  40231  stoweidlem34  40251  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem42  40366  fourierdlem50  40373  fourierdlem64  40387  fourierdlem79  40402  smfresal  40995  zm1nn  41316  m1mod0mod1  41339  nn0oALTV  41607  perfectALTVlem2  41631  m1modmmod  42316  difmodm1lt  42317  flnn0div2ge  42327  logbpw2m1  42361  fllog2  42362