Theorem affineequiv 24553

Description: Equivalence between two ways of expressing 𝐵 as an affine combination of 𝐴 and 𝐶. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
affineequiv.A	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
affineequiv.B	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
affineequiv.C	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
affineequiv.D	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
affineequiv	⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Proof of Theorem affineequiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		affineequiv.C	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		affineequiv.D	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
3	2, 1	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
4		affineequiv.A	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐴) ∈ ℂ)
6	1, 3, 5	subsubd 10420	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))) = ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)))
7	1, 3	subcld 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) ∈ ℂ)
8	7, 5	addcomd 10238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − (𝐷 · 𝐶)) + (𝐷 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
9	6, 8	eqtr2d 2657	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
10		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	10, 2, 1	subdird 10487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)))
12	1	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐶) = 𝐶)
13	12	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐶)) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
14	11, 13	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐷) · 𝐶) = (𝐶 − (𝐷 · 𝐶)))
15	14	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐴) + (𝐶 − (𝐷 · 𝐶))))
16		affineequiv.B	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	1, 16	subcld 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℂ)
18	1, 4	subcld 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
19	2, 18	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) ∈ ℂ)
20	16, 17, 19	addsubassd 10412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
21	16, 1	pncan3d 10395	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) = 𝐶)
22	2, 1, 4	subdid 10486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴)))
23	21, 22	oveq12d 6668	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + (𝐶 − 𝐵)) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
24	20, 23	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) = (𝐶 − ((𝐷 · 𝐶) − (𝐷 · 𝐴))))
25	9, 15, 24	3eqtr4d 2666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
26	25	eqeq2d 2632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
27	16	addid1d 10236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 0) = 𝐵)
28	27	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 𝐵 = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))))
29		0cnd 10033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
30	17, 19	subcld 10392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ∈ ℂ)
31	16, 29, 30	addcand 10239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 0) = (𝐵 + ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
32	26, 28, 31	3bitr2d 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ 0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴)))))
33		eqcom 2629	. . 3 ⊢ (0 = ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0)
34	32, 33	syl6bb 276	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ ((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0))
35	17, 19	subeq0ad 10402	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 − 𝐵) − (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))) = 0 ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))
36	34, 35	bitrd 268	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 = ((𝐷 · 𝐴) + ((1 − 𝐷) · 𝐶)) ↔ (𝐶 − 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 − 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268

This theorem is referenced by:  affineequiv2  24554  angpieqvd  24558  chordthmlem2  24560  chordthmlem4  24562