Theorem addid1d 10236

Description: 0 is an additive identity. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
addid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Proof of Theorem addid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addid1 10216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936   + caddc 9939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  ltaddneg  10251  subsub2  10309  negsub  10329  ltaddpos  10518  addge01  10538  add20  10540  nnge1  11046  nnnn0addcl  11323  un0addcl  11326  uzaddcl  11744  xaddid1  12072  fzosubel3  12528  expadd  12902  faclbnd4lem4  13083  faclbnd6  13086  hashgadd  13166  ccatrid  13370  swrd0val  13421  swrdid  13428  swrd0fv  13439  swrd0swrd  13461  swrdccatin12lem2b  13486  swrdccatin12lem2  13489  swrdccat3blem  13495  splfv1  13506  cshweqrep  13567  relexpaddg  13793  reim0b  13859  rereb  13860  immul2  13877  max0add  14050  iseraltlem2  14413  fsumsplit  14471  sumsplit  14499  binomfallfaclem2  14771  pwp1fsum  15114  bitsinv1lem  15163  sadadd2lem2  15172  sadcaddlem  15179  bezoutlem1  15256  pcadd  15593  pcadd2  15594  pcmpt  15596  vdwapun  15678  vdwlem1  15685  mulgnn0dir  17571  psgnunilem2  17915  sylow1lem1  18013  efginvrel2  18140  efgredleme  18156  efgcpbllemb  18168  frgpnabllem1  18276  mplcoe5  19468  regsumfsum  19814  regsumsupp  19968  xrsxmet  22612  reparphti  22797  minveclem6  23205  ovolunnul  23268  voliunlem3  23320  ovolioo  23336  itg2splitlem  23515  itg2split  23516  itgrevallem1  23561  itgsplitioo  23604  ditgsplit  23625  dvnadd  23692  dvlipcn  23757  ply1divex  23896  dvntaylp  24125  ulmshft  24144  abelthlem6  24190  cosmpi  24240  sinppi  24241  sinhalfpip  24244  logrnaddcl  24321  affineequiv  24553  chordthmlem3  24561  atanlogaddlem  24640  atanlogsublem  24642  leibpi  24669  scvxcvx  24712  dmgmn0  24752  lgamgulmlem2  24756  lgambdd  24763  logexprlim  24950  2sqblem  25156  dchrvmasum2if  25186  dchrvmasumlem  25212  axcontlem8  25851  crctcshlem4  26712  eupth2lem3lem6  27093  ipidsq  27565  minvecolem6  27738  normpyc  28003  pjspansn  28436  lnfnmuli  28903  hstoh  29091  archirngz  29743  indsumin  30084  esumpfinvallem  30136  signsvtp  30660  signlem0  30664  fsum2dsub  30685  cvxpconn  31224  cvxsconn  31225  elmrsubrn  31417  faclim2  31634  fwddifn0  32271  fwddifnp1  32272  dnizeq0  32465  knoppndvlem6  32508  bj-bary1lem  33160  poimirlem1  33410  poimirlem5  33414  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem11  33420  poimirlem12  33421  poimirlem17  33426  poimirlem20  33429  poimirlem22  33431  poimirlem24  33433  poimirlem25  33434  poimirlem29  33438  poimirlem31  33440  mblfinlem2  33447  mbfposadd  33457  itg2addnc  33464  itgaddnclem2  33469  ftc1anclem5  33489  ftc1anclem8  33492  areacirc  33505  pell1qrgaplem  37437  jm2.19lem3  37558  jm2.25  37566  relexpaddss  38010  int-add01d  38487  binomcxplemnn0  38548  fperiodmullem  39517  xralrple3  39590  sumnnodd  39862  fprodaddrecnncnvlem  40123  ioodvbdlimc1lem2  40147  volioc  40188  volico  40200  stoweidlem11  40228  stoweidlem26  40243  stirlinglem12  40302  fourierdlem4  40328  fourierdlem42  40366  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem92  40415  fourierdlem107  40430  fouriersw  40448  etransclem24  40475  etransclem35  40486  hoidmvlelem2  40810  hspmbllem1  40840  sharhght  41054  deccarry  41321  pfxmpt  41387  pfxfv  41399  pfxccatin12lem1  41423  pfxccatin12lem2  41424  altgsumbcALT  42131