Theorem cantnf0 8572

Description: The value of the zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cantnfs.s	⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
cantnfs.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
cantnf0.a	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cantnf0	⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Proof of Theorem cantnf0

Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cantnfs.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
2		cantnfs.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ On)
3		cantnfs.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ On)
4		eqid 2622	. . 3 ⊢ OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))
5		cantnf0.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐴)
6		fconst6g 6094	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴)
8	3, 5	fczfsuppd 8293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)
9	1, 2, 3	cantnfs 8563	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐵 × {∅}):𝐵⟶𝐴 ∧ (𝐵 × {∅}) finSupp ∅)))
10	7, 8, 9	mpbir2and 957	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) ∈ 𝑆)
11		eqid 2622	. . 3 ⊢ seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅) = seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)
12	1, 2, 3, 4, 10, 11	cantnfval 8565	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))))
13		eqidd 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅}))
14		0ex 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
15		fnconstg 6093	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ V → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × {∅}) Fn 𝐵)
17	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ V)
18		fnsuppeq0 7323	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 × {∅}) Fn 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ V) → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
19	16, 3, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ ↔ (𝐵 × {∅}) = (𝐵 × {∅})))
20	13, 19	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅)
21		oieq2 8418	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 × {∅}) supp ∅) = ∅ → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = OrdIso( E , ∅))
23	22	dmeqd 5326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = dom OrdIso( E , ∅))
24		we0 5109	. . . . . 6 ⊢ E We ∅
25		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ OrdIso( E , ∅) = OrdIso( E , ∅)
26	25	oien 8443	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ E We ∅) → dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅)
27	14, 24, 26	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅
28		en0 8019	. . . . 5 ⊢ (dom OrdIso( E , ∅) ≈ ∅ ↔ dom OrdIso( E , ∅) = ∅)
29	27, 28	mpbi 220	. . . 4 ⊢ dom OrdIso( E , ∅) = ∅
30	23, 29	syl6eq 2672	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅)) = ∅)
31	30	fveq2d 6195	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘dom OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))) = (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅))
32	11	seqom0g 7551	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
33	14, 32	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝜔((𝑘 ∈ V, 𝑧 ∈ V ↦ (((𝐴 ↑𝑜 (OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘)) ·𝑜 ((𝐵 × {∅})‘(OrdIso( E , ((𝐵 × {∅}) supp ∅))‘𝑘))) +𝑜 𝑧)), ∅)‘∅) = ∅)
34	12, 31, 33	3eqtrd 2660	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 CNF 𝐵)‘(𝐵 × {∅})) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   E cep 5028   We wwe 5072   × cxp 5112  dom cdm 5114  Oncon0 5723   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652   supp csupp 7295  seq_𝜔cseqom 7542   +_𝑜 coa 7557   ·_𝑜 comu 7558   ↑_𝑜 coe 7559   ≈ cen 7952   finSupp cfsupp 8275  OrdIsocoi 8414   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  cnfcom2lem  8598