Theorem caucvgr 14406

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
caucvgr.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
caucvgr.3	⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
caucvgr.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
caucvgr	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐴   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Proof of Theorem caucvgr

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)))
3	1	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℂ)
4	3	replimd 13937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑛) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))))
5	4	mpteq2dva 4744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑛)) = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
6	2, 5	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))))
7		fvexd 6203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℜ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
8		ovexd 6680	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
9		caucvgr.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
10		caucvgr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
11		caucvgr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ 𝐴 ∀𝑘 ∈ 𝐴 (𝑗 ≤ 𝑘 → (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) < 𝑥))
12		ref 13852	. . . . 5 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
13		resub 13867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗))))
14	13	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))))
15		subcl 10280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ)
16		absrele 14048	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℜ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
18	14, 17	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℜ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℜ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
19	9, 1, 10, 11, 12, 18	caucvgrlem2 14405	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)))
20		ax-icn 9995	. . . . . . 7 ⊢ i ∈ ℂ
21	20	elexi 3213	. . . . . 6 ⊢ i ∈ V
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → i ∈ V)
23		fvexd 6203	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝐴) → (ℑ‘(𝐹‘𝑛)) ∈ V)
24		rlimconst 14275	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ i ∈ ℂ) → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
25	9, 20, 24	sylancl 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ i) ⇝𝑟 i)
26		imf 13853	. . . . . 6 ⊢ ℑ:ℂ⟶ℝ
27		imsub 13875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))) = ((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗))))
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) = (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))))
29		absimle 14049	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
30	15, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘(ℑ‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
31	28, 30	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑗) ∈ ℂ) → (abs‘((ℑ‘(𝐹‘𝑘)) − (ℑ‘(𝐹‘𝑗)))) ≤ (abs‘((𝐹‘𝑘) − (𝐹‘𝑗))))
32	9, 1, 10, 11, 26, 31	caucvgrlem2 14405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑛))) ⇝𝑟 ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))
33	22, 23, 25, 32	rlimmul 14375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛)))) ⇝𝑟 (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹))))
34	7, 8, 19, 33	rlimadd 14373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑛)) + (i · (ℑ‘(𝐹‘𝑛))))) ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
35	6, 34	eqbrtrd 4675	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))))
36		rlimrel 14224	. . 3 ⊢ Rel ⇝𝑟
37	36	releldmi 5362	. 2 ⊢ (𝐹 ⇝𝑟 (( ⇝𝑟 ‘(ℜ ∘ 𝐹)) + (i · ( ⇝𝑟 ‘(ℑ ∘ 𝐹)))) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
38	35, 37	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  ici 9938   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℝ⁺crp 11832  ℜcre 13837  ℑcim 13838  abscabs 13974   ⇝_𝑟 crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caucvg  14409  dvfsumrlim  23794