Theorem caucvgr 14406

Description: A Cauchy sequence of complex numbers converges to a complex number. Theorem 12-5.3 of [Gleason] p. 180 (sufficiency part). (Contributed by NM, 20-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgr.1	|- ( ph -> A C_ RR )
caucvgr.2	|- ( ph -> F : A --> CC )
caucvgr.3	|- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
caucvgr.4	|- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgr	|- ( ph -> F e. dom ~~> r )

Distinct variable groups:   j, k, x, A   j, F, k, x   ph, j, k, x

Proof of Theorem caucvgr

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgr.2	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
2	1	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ph -> F = ( n e. A |-> ( F ` n ) ) )
3	1	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( F ` n ) e. CC )
4	3	replimd 13937	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( F ` n ) = ( ( Re ` ( F ` n ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) ) )
5	4	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( F ` n ) ) = ( n e. A |-> ( ( Re ` ( F ` n ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) ) ) )
6	2, 5	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> F = ( n e. A |-> ( ( Re ` ( F ` n ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) ) ) )
7		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( Re ` ( F ` n ) ) e. _V )
8		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) e. _V )
9		caucvgr.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ RR )
10		caucvgr.3	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( A , RR* , < ) = +oo )
11		caucvgr.4	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. RR+ E. j e. A A. k e. A ( j <_ k -> ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) < x ) )
12		ref 13852	. . . . 5 |- Re : CC --> RR
13		resub 13867	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) = ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` j ) ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) = ( abs ` ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` j ) ) ) ) )
15		subcl 10280	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC )
16		absrele 14048	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( Re ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
18	14, 17	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( Re ` ( F ` k ) ) - ( Re ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
19	9, 1, 10, 11, 12, 18	caucvgrlem2 14405	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( Re ` ( F ` n ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( Re o. F ) ) )
20		ax-icn 9995	. . . . . . 7 |- _i e. CC
21	20	elexi 3213	. . . . . 6 |- _i e. _V
22	21	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> _i e. _V )
23		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. A ) -> ( Im ` ( F ` n ) ) e. _V )
24		rlimconst 14275	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ _i e. CC ) -> ( n e. A |-> _i ) ~~> r _i )
25	9, 20, 24	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. A |-> _i ) ~~> r _i )
26		imf 13853	. . . . . 6 |- Im : CC --> RR
27		imsub 13875	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) = ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` j ) ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) = ( abs ` ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` j ) ) ) ) )
29		absimle 14049	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
30	15, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( Im ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
31	28, 30	eqbrtrrd 4677	. . . . . 6 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ ( F ` j ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( Im ` ( F ` k ) ) - ( Im ` ( F ` j ) ) ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` k ) - ( F ` j ) ) ) )
32	9, 1, 10, 11, 26, 31	caucvgrlem2 14405	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( Im ` ( F ` n ) ) ) ~~> r ( ~~> r ` ( Im o. F ) ) )
33	22, 23, 25, 32	rlimmul 14375	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) ) ~~> r ( _i x. ( ~~> r ` ( Im o. F ) ) ) )
34	7, 8, 19, 33	rlimadd 14373	. . 3 |- ( ph -> ( n e. A |-> ( ( Re ` ( F ` n ) ) + ( _i x. ( Im ` ( F ` n ) ) ) ) ) ~~> r ( ( ~~> r ` ( Re o. F ) ) + ( _i x. ( ~~> r ` ( Im o. F ) ) ) ) )
35	6, 34	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> F ~~> r ( ( ~~> r ` ( Re o. F ) ) + ( _i x. ( ~~> r ` ( Im o. F ) ) ) ) )
36		rlimrel 14224	. . 3 |- Rel ~~> r
37	36	releldmi 5362	. 2 |- ( F ~~> r ( ( ~~> r ` ( Re o. F ) ) + ( _i x. ( ~~> r ` ( Im o. F ) ) ) ) -> F e. dom ~~> r )
38	35, 37	syl 17	1 |- ( ph -> F e. dom ~~> r )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   Recre 13837   Imcim 13838   abscabs 13974   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  caucvg  14409  dvfsumrlim  23794