Theorem climrec 39835

Description: Limit of the reciprocal of a converging sequence. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrec.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climrec.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climrec.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
climrec.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
climrec.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
climrec.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
climrec.7	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
climrec	⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem climrec

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrec.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climrec.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climrec.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐴)
4		climcl 14230	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ⇝ 𝐴 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		climrec.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
7	6	neneqd 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 = 0)
8		c0ex 10034	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
9	8	elsn2 4211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ {0} ↔ 𝐴 = 0)
10	7, 9	sylnibr 319	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ {0})
11	5, 10	eldifd 3585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}))
12		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
13		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
14	13	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
15		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
16	15	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ∈ ℂ)
17		eldifsni 4320	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
18	17	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → 𝑧 ≠ 0)
19	16, 18	reccld 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
20	12, 14, 15, 19	fvmptd 6288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
21	20, 19	eqeltrd 2701	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) ∈ ℂ)
22		climrec.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝑊)
23		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐴) · 𝑥), 1, ((abs‘𝐴) · 𝑥)) · ((abs‘𝐴) / 2))
24	23	reccn2 14327	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
25	11, 24	sylan 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))
26		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → 𝑤 = 𝑧)
28	27	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑤 = 𝑧) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝑧))
29		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
30		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
31	30, 17	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑧) ∈ ℂ)
32	26, 28, 29, 31	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
33	32	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) = (1 / 𝑧))
34		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 = 𝐴) → (1 / 𝑤) = (1 / 𝐴))
37	5, 6	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
38	34, 36, 11, 37	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
39	38	ad4antr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴) = (1 / 𝐴))
40	33, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴)) = ((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴)))
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) = (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))))
42	29	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}))
43		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦)
44		simpllr 799	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)))
45	42, 43, 44	mp2d 49	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)
46	41, 45	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥))) ∧ 𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)
47	46	exp41 638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥)) → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))))
48	47	ralimdv2 2961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
49	48	reximdv 3016	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((1 / 𝑧) − (1 / 𝐴))) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥)))
50	25, 49	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘(((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝑧) − ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))) < 𝑥))
51		climrec.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}))
52		climrec.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
53		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)) = (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤)))
54		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝐺‘𝑘) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
55	54	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) ∧ 𝑤 = (𝐺‘𝑘)) → (1 / 𝑤) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
56	51	eldifad 3586	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
57		eldifsni 4320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑘) ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
58	51, 57	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ≠ 0)
59	56, 58	reccld 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (1 / (𝐺‘𝑘)) ∈ ℂ)
60	53, 55, 51, 59	fvmptd 6288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)) = (1 / (𝐺‘𝑘)))
61	52, 60	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐻‘𝑘) = ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘(𝐺‘𝑘)))
62	1, 2, 11, 21, 3, 22, 50, 51, 61	climcn1 14322	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ ((𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑤))‘𝐴))
63	62, 38	breqtrd 4679	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⇝ (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571  ifcif 4086  {csn 4177   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974   ⇝ cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219

This theorem is referenced by:  climrecf  39841  wallispi  40287