Theorem disjinfi 39380

Description: Only a finite number of disjoint sets can have a non empty intersection with a finite set 𝐶 (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
disjinfi.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
disjinfi.d	⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
disjinfi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
disjinfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem disjinfi

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		disjinfi.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → 𝐶 ∈ Fin)
3		inss2 3834	. . . . 5 ⊢ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
5		ssfi 8180	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶) → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ Fin → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
7	1, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
8	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶)
9	8, 1	jca 554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ Fin))
10		ssexg 4804	. . . 4 ⊢ (((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ Fin) → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V)
12		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
13		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤)
14	13	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤)
15		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
16		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
17	16	elrnmpt 5372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑤 ∈ V → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵))
18	15, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
19	18	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵)
21		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥𝑤
22		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
23	22	nfrn 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
24	21, 23	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
25		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝑤
26	24, 25	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤)
27		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝑤)
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑤 = 𝐵)
29	27, 28	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 = 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
30	29	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵))
31	30	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑤 = 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)))
33	26, 32	reximdai 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑤 = 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
34	20, 33	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑤) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)))
37	36	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (∃𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)𝑦 ∈ 𝑤 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵))
38	14, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
39	12, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
41		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
42		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
43	23	nfuni 4442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
44		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
45	43, 44	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)
46	42, 45	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)
47	41, 46	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
48		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)
49	3	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
50		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐴)
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
52		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐶)
53	51, 52	elind 3798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
54	53	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
55		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
56	50, 54, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
57	56	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐶 → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
58	49, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
60	47, 48, 59	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
62		disjinfi.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
63		disjors 4635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Disj 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
64	62, 63	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
65		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑧∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
66		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
67		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑧 = 𝑤
68		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
69	21	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵
70	68, 69	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
71		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥∅
72	70, 71	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅
73	67, 72	nfor 1834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
74	66, 73	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
75		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤 ↔ 𝑧 = 𝑤))
76		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
77	76	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ↔ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
79	75, 78	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)))
80	79	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)))
81	65, 74, 80	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑧 = 𝑤 ∨ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
82	64, 81	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
83		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
84	82, 83	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
86		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
87		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅))
88	87	orcomd 403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑤 ∈ 𝐴 (𝑥 = 𝑤 ∨ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
89	85, 86, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → ((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤))
91		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐵)
92	91	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
93		sbsbc 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
94		sbcel2 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶))
95		csbin 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶)
96	95	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
97	93, 94, 96	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
98	97	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶))
99		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
102	92, 101	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
103		inelcm 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) ≠ ∅)
104	103	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
106	105	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → ¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅)
107		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ ∨ 𝑥 = 𝑤) → (¬ (𝐵 ∩ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ∅ → 𝑥 = 𝑤))
108	90, 106, 107	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) → 𝑥 = 𝑤)
109	108	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
110	109	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
111	110	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤))
113	61, 112	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
114		reu2 3394	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤)))
115	113, 114	sylibr 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
116		riotacl2 6624	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)})
117	115, 116	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)})
118		nfriota1 6618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
119	118	nfcsb1 3548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑥⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵
120	119, 44	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
121	42, 120	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
122		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = ⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵)
123	122	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
124	123	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
125	118, 66, 121, 124	elrabf 3360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} ↔ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
126	125	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
127	126	simpld 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴)
128	126	simprd 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → 𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
129		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
131	127, 130	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
132	120, 71	nfne 2894	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅
133	123	neeq1d 2853	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
134	118, 66, 132, 133	elrabf 3360	. . . . . . . 8 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ 𝐴 ∧ (⦋(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
135	131, 134	sylibr 224	. . . . . . 7 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)} → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
136	117, 135	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
137	136	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
138	69, 44	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
139	138, 71	nfne 2894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅
140		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
141	140	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
142	141	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
143	21, 66, 139, 142	elrabf 3360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅))
144	143	simprbi 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
145		n0 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
146	144, 145	sylib 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
147	146	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
148		nfv 1843	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
149		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → 𝜑)
150	143	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → 𝑤 ∈ 𝐴)
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → 𝑤 ∈ 𝐴)
152		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
153	152	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
154		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
155		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)
156		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥𝑉
157	69, 156	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉
158	155, 157	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
159		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑤 ∈ 𝐴))
160	159	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
161	140	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝐵 ∈ 𝑉 ↔ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉))
162	160, 161	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)))
163		disjinfi.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
164	158, 162, 163	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
165	164	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉)
166		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
167	166	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ 𝑉) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
168	154, 165, 167	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵))
169		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑤𝐵
170	140	equcoms 1947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵)
171	170	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐵)
172	69, 169, 171	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
173	172	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
174	168, 173	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
175		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∧ ⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
176	153, 174, 175	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ ∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
177		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
178	177	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
179	176, 178	elind 3798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
180		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑤 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)
181	42, 138	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
182	141	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
183	180, 181, 182	cbvriota 6621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
184	183	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) = (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
185		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
186	154, 185	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
187		rspe 3003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
188	187	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
189		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝜑)
190		sbequ 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
191		sbsbc 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
192	191	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
193		sbcel2 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶))
194		csbin 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶)
195		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ 𝑧 ∈ V
196		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶)
197	195, 196	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶 = 𝐶
198	197	ineq2i 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
199	194, 198	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
200	199	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑥⦌(𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
201	193, 200	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
202	201	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑧 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
203	190, 192, 202	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
204	203	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))))
205		equequ2 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑤 ↔ 𝑥 = 𝑧))
206	204, 205	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)))
207	206	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
208	207	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧))
209		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑤∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧)
210	68, 44	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑥(⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
211	42, 210	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
212	181, 211	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
213		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑤 = 𝑧
214	212, 213	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
215	66, 214	nfral 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)
216	182	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))))
217		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 𝑧 ↔ 𝑤 = 𝑧))
218	216, 217	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
219	218	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
220	209, 215, 219	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
221		biid 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
222		sbsbc 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
223		sbcel2 3989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ([𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
224		csbin 4010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶)
225		csbco 3543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
226		csbconstg 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑧 ∈ V → ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶 = 𝐶)
227	195, 226	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶 = 𝐶
228	225, 227	ineq12i 3812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑤⦌⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ ⦋𝑧 / 𝑤⦌𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
229		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
230	224, 228, 229	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) = (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)
231	230	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ⦋𝑧 / 𝑤⦌(⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
232	222, 223, 231	3bitrri 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
233	232	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)))
234	233	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
235	234	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
236	235	ralbii 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
237	221, 236	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
238	208, 220, 237	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑤 / 𝑥]𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 = 𝑤) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
239	112, 238	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
240	189, 179, 239	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧))
241	188, 240	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
242		reu2 3394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ↔ (∃𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) ∧ [𝑧 / 𝑤]𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = 𝑧)))
243	241, 242	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶))
244		riota1 6629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤))
245	243, 244	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤))
246	186, 245	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (℩𝑤 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) = 𝑤)
247	184, 246	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
248	179, 247	jca 554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
249	248	ex 450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
250	149, 151, 249	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → (𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
251	148, 250	eximd 2085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → (∃𝑦 𝑦 ∈ (⦋𝑤 / 𝑥⦌𝐵 ∩ 𝐶) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))))
252	147, 251	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
253		df-rex 2918	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∧ 𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
254	252, 253	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}) → ∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
255	254	ralrimiva 2966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
256	137, 255	jca 554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
257		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))) = (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)))
258	257	fompt 39379	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ↔ (∀𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅}∃𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)𝑤 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))))
259	256, 258	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅})
260		fodomg 9345	. . 3 ⊢ ((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ V → ((𝑦 ∈ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))):(∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)–onto→{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)))
261	11, 259, 260	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶))
262		domfi 8181	. 2 ⊢ (((∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ≼ (∪ ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∩ 𝐶)) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)
263	7, 261, 262	syl2anc 693	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅} ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483  ∃wex 1704  [wsb 1880   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ∃!wreu 2914  {crab 2916  Vcvv 3200  [wsbc 3435  ⦋csb 3533   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  ∪ cuni 4436  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ran crn 5115  –onto→wfo 5886  ℩crio 6610   ≼ cdom 7953  Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  fsumiunss  39807  sge0iunmptlemre  40632