Theorem divcnvshft 14587

Description: Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcnvshft.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
divcnvshft.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
divcnvshft.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcnvshft.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
divcnvshft.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
divcnvshft.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
divcnvshft	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem divcnvshft

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcnvshft.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcnv 14585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
4		nnssz 11397	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
5		resmpt 5449	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ⊆ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚))
7		nnuz 11723	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
8	7	reseq2i 5393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ ℕ) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
9	6, 8	eqtr3i 2646	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1))
10	9	breq1i 4660	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0)
11		1z 11407	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		zex 11386	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
13	12	mptex 6486	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V
14		climres 14306	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V) → (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
15	11, 13, 14	mp2an 708	. . . 4 ⊢ (((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ↾ (ℤ≥‘1)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
16	10, 15	bitri 264	. . 3 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
17	3, 16	sylib 208	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0)
18		divcnvshft.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
19		divcnvshft.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		divcnvshft.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
21		divcnvshft.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
22	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ∈ V)
23		uzssz 11707	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
24	18, 23	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
25	24	sseli 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ ℤ)
26	25	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ ℤ)
27	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℤ)
28	26, 27	zaddcld 11486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ)
29		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 𝐵) → (𝐴 / 𝑚) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
30		eqid 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))
31		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6282	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
33	28, 32	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
34		divcnvshft.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = (𝐴 / (𝑘 + 𝐵)))
35	33, 34	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚))‘(𝑘 + 𝐵)) = (𝐹‘𝑘))
36	18, 19, 20, 21, 22, 35	climshft2 14313	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐴 / 𝑚)) ⇝ 0))
37	17, 36	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729   ↾ cres 5116  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   / cdiv 10684  ℕcn 11020  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687   ⇝ cli 14215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  binomcxplemrat  38549