Theorem elfzel2 12340

Description: Membership in a finite set of sequential integer implies the upper bound is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzel2	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz3 12339	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzelz 11697	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  elfz1eq  12352  fzdisj  12368  fzssp1  12384  fzp1disj  12399  fzrev2i  12405  fzrev3  12406  elfz1b  12409  fznuz  12422  fznn0sub2  12446  elfzmlbm  12449  difelfznle  12453  nn0disj  12455  fz1fzo0m1  12515  fzofzp1b  12566  bcm1k  13102  bcp1nk  13104  swrdccatin12lem2  13489  spllen  13505  fsum0diag2  14515  fallfacval3  14743  fallfacval4  14774  psgnunilem2  17915  pntpbnd1  25275  crctcshwlkn0  26713  elfzfzo  39488  sumnnodd  39862  dvnmul  40158  dvnprodlem1  40161  dvnprodlem2  40162  stoweidlem34  40251  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem54  40377  fourierdlem79  40402  fourierdlem102  40425  fourierdlem114  40437  etransclem23  40474  etransclem35  40486  iundjiun  40677  2elfz2melfz  41328  elfzelfzlble  41331  iccpartiltu  41358  iccpartgt  41363  pfxccatin12lem2  41424