Proof of Theorem pfxccatin12lem2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | pfxccatin12.l |
. . . . . 6
⊢ 𝐿 = (#‘𝐴) |
2 | 1 | swrdccatin12lem2c 13488 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵))))) |
3 | 2 | adantr 481 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵))))) |
4 | | simprl 794 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) |
5 | | swrdfv 13424 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
6 | 3, 4, 5 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀))) |
7 | | elfzoelz 12470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ) |
8 | | elfz2nn0 12431 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0
∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) |
9 | | nn0cn 11302 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℂ) |
10 | | nn0cn 11302 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝐿 ∈ ℕ0
→ 𝐿 ∈
ℂ) |
11 | 9, 10 | anim12i 590 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) |
12 | | zcn 11382 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈
ℂ) |
13 | | subcl 10280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
14 | 13 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
15 | 14 | anim2i 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)) |
16 | 15 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)) |
17 | | subcl 10280 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
19 | 18 | addid1d 10236 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) |
20 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈
ℂ) |
21 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈
ℂ) |
22 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈
ℂ) |
23 | 20, 21, 22 | subsub3d 10422 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
24 | 19, 23 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
25 | 11, 12, 24 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
26 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
27 | 26 | eqcoms 2630 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿)) |
28 | 27 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
29 | 25, 28 | syl5ibr 236 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)
∧ 𝐾 ∈ ℤ)
→ ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
30 | 1, 29 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
31 | 30 | ex 450 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
32 | 31 | 3adant3 1081 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝐿 ∈
ℕ0 ∧ 𝑀
≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
33 | 8, 32 | sylbi 207 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
34 | 33 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
35 | 7, 34 | syl5com 31 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
36 | 35 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
37 | 36 | impcom 446 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
38 | 37 | fveq2d 6195 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
39 | | simpll 790 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉)) |
40 | | swrdccatin12lem2a 13485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))) |
41 | 40 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))) |
42 | 41 | imp 445 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))) |
43 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((#‘𝐴) = 𝐿 → (#‘𝐴) = 𝐿) |
44 | | oveq1 6657 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵))) |
45 | 43, 44 | oveq12d 6668 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))) |
46 | 45 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . 9
⊢
((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))) |
47 | 46 | eqcoms 2630 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))) |
48 | 1, 47 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))) |
49 | 42, 48 | sylibr 224 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) |
50 | | df-3an 1039 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))) |
51 | 39, 49, 50 | sylanbrc 698 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))) |
52 | | ccatval2 13362 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)))) |
53 | 51, 52 | syl 17 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)))) |
54 | | simplr 792 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
55 | 54 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉) |
56 | | lencl 13324 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈
ℕ0) |
57 | | elfzel2 12340 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ) |
58 | | zsubcl 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
59 | 58 | ancoms 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
60 | 59 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ) |
61 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
ℝ) |
62 | | zre 11381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈
ℝ) |
63 | | subge0 10541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
64 | 61, 62, 63 | syl2anr 495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤
(𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁)) |
65 | 64 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))) |
66 | 65 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)) |
67 | | elnn0z 11390 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))) |
68 | 60, 66, 67 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
69 | 68 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
70 | 69 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
71 | 70 | expcomd 454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
72 | 71 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
73 | 72 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0))) |
74 | 73 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
75 | 74 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
76 | 75 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0)) |
77 | 76 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈
ℕ0) |
78 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (#‘𝐵) ∈
ℕ0) |
79 | 61 | 3ad2ant3 1084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ) |
80 | 79 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
81 | 62 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ) |
82 | 81 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ) |
83 | | nn0re 11301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((#‘𝐵) ∈
ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℝ) |
84 | 83 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → (#‘𝐵) ∈ ℝ) |
85 | 84 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝐵) ∈
ℝ) |
86 | | lesubadd2 10501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧
(#‘𝐵) ∈ ℝ)
→ ((𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) |
87 | 86 | biimprd 238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧
(#‘𝐵) ∈ ℝ)
→ (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))) |
88 | 80, 82, 85, 87 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))) |
89 | 88 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))) |
90 | 89 | com13 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))) |
91 | 90 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))) |
92 | 91 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
→ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))) |
93 | 92 | impcom 446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)) |
94 | 77, 78, 93 | 3jca 1242 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))) |
95 | 94 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))) |
96 | | elfz2 12333 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) |
97 | | elfz2nn0 12431 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))) |
98 | 95, 96, 97 | 3imtr4g 285 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧
(#‘𝐵) ∈
ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))) |
99 | 98 | ex 450 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐿 ∈ ℤ →
((#‘𝐵) ∈
ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))) |
100 | 99 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))) |
101 | 57, 100 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))) |
102 | 101 | imp 445 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))) |
103 | 56, 102 | syl5com 31 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))) |
104 | 103 | adantl 482 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))) |
105 | 104 | imp 445 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))) |
106 | 105 | adantr 481 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))) |
107 | | pfxccatin12lem1 41423 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))) |
108 | 107 | adantl 482 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿)))) |
109 | 108 | imp 445 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) |
110 | | pfxfv 41399 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)) ∧ (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^(𝑁 − 𝐿))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
111 | 55, 106, 109, 110 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
112 | 7 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ) |
113 | 112 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℂ) |
114 | 57 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℂ) |
115 | 114 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ ℂ) |
116 | 115 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ ℂ) |
117 | | elfzelz 12342 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℤ) |
118 | 117 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝑀 ∈ ℂ) |
119 | 118 | ad2antrl 764 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ ℂ) |
120 | 119 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℂ) |
121 | 116, 120 | subcld 10392 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) |
122 | 113, 121 | subcld 10392 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ) |
123 | 122 | addid1d 10236 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) |
124 | 123 | eqcomd 2628 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)) |
125 | 124 | fveq2d 6195 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
126 | 111, 125 | eqtrd 2656 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))) |
127 | 38, 53, 126 | 3eqtr4d 2666 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))) |
128 | | simpll 790 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉) |
129 | | simprl 794 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿)) |
130 | | lencl 13324 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈
ℕ0) |
131 | | elnn0uz 11725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈
(ℤ≥‘0)) |
132 | | eluzfz2 12349 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((#‘𝐴) ∈
(ℤ≥‘0) → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴))) |
133 | 131, 132 | sylbi 207 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴))) |
134 | 1, 133 | syl5eqel 2705 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((#‘𝐴) ∈
ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) |
135 | 130, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) |
136 | 135 | adantr 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) |
137 | 136 | adantr 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) |
138 | 128, 129,
137 | 3jca 1242 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))) |
139 | 138 | adantr 481 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))) |
140 | | swrdlen 13423 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) = (𝐿 − 𝑀)) |
141 | 139, 140 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)) = (𝐿 − 𝑀)) |
142 | 141 | eqcomd 2628 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) = (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))) |
143 | 142 | oveq2d 6666 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = (𝐾 − (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)))) |
144 | 143 | fveq2d 6195 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))))) |
145 | 6, 127, 144 | 3eqtrd 2660 |
. 2
⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉))))) |
146 | 145 | ex 450 |
1
⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr 〈𝑀, 𝑁〉)‘𝐾) = ((𝐵 prefix (𝑁 − 𝐿))‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr 〈𝑀, 𝐿〉)))))) |