Theorem swrdccatin12lem2 13489

Description: Lemma 2 for swrdccatin12 13491. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin12.l	⊢ 𝐿 = (#‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin12lem2	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Proof of Theorem swrdccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin12.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (#‘𝐴)
2	1	swrdccatin12lem2c 13488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
4		simprl 794	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
5		swrdfv 13424	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
7		elfzoelz 12470	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
8		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
9		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
10		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
11	9, 10	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ))
12		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
13		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
14	13	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
15	14	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ)) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ))
16	15	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ))
17		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ ℂ)
19	18	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) = (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)))
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐾 ∈ ℂ)
21		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝐿 ∈ ℂ)
22		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → 𝑀 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
24	19, 23	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ) ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
25	11, 12, 24	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
26		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
27	26	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿))
28	27	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0) ↔ ((𝐾 + 𝑀) − 𝐿) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
29	25, 28	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
30	1, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
31	30	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
33	8, 32	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
35	34	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
36	7, 35	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
37	36	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
38	37	impcom 446	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴)) = ((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0))
39	38	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
40		simpll 790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
41		swrdccatin12lem2a 13485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
43	42	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
44		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → (#‘𝐴) = 𝐿)
45		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵)))
46	44, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
47	46	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
48	47	eqcoms 2630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵)))))
49	1, 48	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^(𝐿 + (#‘𝐵))))
50	43, 49	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))
51		df-3an 1039	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
52	40, 50, 51	sylanbrc 698	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
53		ccatval2 13362	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ ((#‘𝐴)..^((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))))
54	52, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐵‘((𝐾 + 𝑀) − (#‘𝐴))))
55		simplr 792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
56	55	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
57		elfz2 12333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))))
58		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
59	58	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ)
61		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
62		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
63		subge0 10541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
64	61, 62, 63	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑁 − 𝐿) ↔ 𝐿 ≤ 𝑁))
65	64	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
66	65	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝐿))
67		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝐿)))
68	60, 66, 67	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐿 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
69	68	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐿 ≤ 𝑁 → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
71	70	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
72	71	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
73	72	imp 445	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
74	57, 73	sylbi 207	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
75	74	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
76		0elfz 12436	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝐿)))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝐿)))
78	77	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝐿)))
79	78	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝐿)))
80		lencl 13324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
81		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ ℤ)
82	70	expcomd 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
83	82	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
84	83	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)))
85	84	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
86	85	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0))
88	87	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0)
89		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
90	61	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℝ)
92	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
94		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
97	91, 93, 96	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ))
98		lesubadd2 10501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → ((𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))
99	98	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
100	97, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
101	100	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
102	101	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
104	103	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
105	104	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))
106	88, 89, 105	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) ∧ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
107	106	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝐿 + (#‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ (𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵))))
108		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)) ↔ ((𝑁 − 𝐿) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 − 𝐿) ≤ (#‘𝐵)))
109	107, 57, 108	3imtr4g 285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
110	109	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
111	110	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
112	81, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))))
113	112	imp 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((#‘𝐵) ∈ ℕ0 → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
114	80, 113	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
115	114	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))))
116	115	imp 445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))
117	116	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵)))
118		swrdccatin12lem2b 13486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))))
119	118	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))))
120	119	imp 445	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0)))
121		swrdfv 13424	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...(𝑁 − 𝐿)) ∧ (𝑁 − 𝐿) ∈ (0...(#‘𝐵))) ∧ (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) ∈ (0..^((𝑁 − 𝐿) − 0))) → ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
122	56, 79, 117, 120, 121	syl31anc 1329	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = (𝐵‘((𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) + 0)))
123	39, 54, 122	3eqtr4d 2666	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))))
124		simpll 790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
125		simprl 794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
126		lencl 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
127		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0))
128		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘0) → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
129	127, 128	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → (#‘𝐴) ∈ (0...(#‘𝐴)))
130	1, 129	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
131	126, 130	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
132	131	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
133	132	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
134	124, 125, 133	3jca 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))))
135	134	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))))
136		swrdlen 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) → (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
137	135, 136	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)) = (𝐿 − 𝑀))
138	137	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐿 − 𝑀) = (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))
139	138	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 − (𝐿 − 𝑀)) = (𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))
140	139	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (𝐿 − 𝑀))) = ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
141	6, 123, 140	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)))))
142	141	ex 450	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐵 substr ⟨0, (𝑁 − 𝐿)⟩)‘(𝐾 − (#‘(𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   + caddc 9939   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303

This theorem is referenced by:  swrdccatin12  13491