Theorem dvnmul 40158

Description: Function-builder for the 𝑁-th derivative, product rule. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvnmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvnmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
dvnmul.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvnmul.cc	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
dvnmul.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
dvnmulf	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
dvnmul.f	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
dvnmul.dvnf	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnmul.dvng	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
dvnmul.c	⊢ 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
dvnmul.d	⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
dvnmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑁,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem dvnmul

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 ℎ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		dvnmul.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0uz 11722	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
4	2, 3	syl6eleq 2711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
5		eluzfz2 12349	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
7		eleq1 2689	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (0...𝑁)))
8		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁))
9		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (0...𝑛) = (0...𝑁))
10	9	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
11		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛C𝑘) = (𝑁C𝑘))
12		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 𝑘) = (𝑁 − 𝑘))
13	12	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝐷‘(𝑛 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑁 − 𝑘)))
14	13	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))
15	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))
16	11, 15	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
17	16	sumeq2ad 14434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
18	10, 17	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))
20	8, 19	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))))
21	20	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))))
22	7, 21	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑛 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))) ↔ (𝑁 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))))))
23		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0))
24		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 0)
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...0))
26		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → 𝑚 = 0)
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
28	26	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝑚 − 𝑘) = (0 − 𝑘))
29	28	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(0 − 𝑘)))
30	29	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))
32	27, 31	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...0)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
33	25, 32	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
34	33	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
35	23, 34	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 0 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))))
36	35	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))))
37		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖))
38		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 𝑖)
39	38	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...𝑖))
40		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑚 = 𝑖)
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑚C𝑘) = (𝑖C𝑘))
42	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑚 − 𝑘) = (𝑖 − 𝑘))
43	42	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)))
44	43	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
46	41, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))
47	39, 46	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑖 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))
48	47	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
49	37, 48	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
50	49	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))))
51		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)))
52		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = (𝑖 + 1))
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...(𝑖 + 1)))
54		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑚 = (𝑖 + 1))
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑚C𝑘) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
56	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑚 − 𝑘) = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
60	55, 59	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
61	53, 60	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = (𝑖 + 1) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
62	61	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
63	51, 62	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
64	63	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))))
65		fveq2 6191	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛))
66		simpl 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑚 = 𝑛)
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑚) = (0...𝑛))
68		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑚 = 𝑛)
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
70	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑚 − 𝑘) = (𝑛 − 𝑘))
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐷‘(𝑚 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑛 − 𝑘)))
72	71	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))
74	69, 73	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
75	67, 74	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 = 𝑛 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))
76	75	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))
77	65, 76	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥)))) ↔ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))))
78	77	imbi2d 330	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑚) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑚 − 𝑘))‘𝑥))))) ↔ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥)))))))
79		dvnmul.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
80		recnprss 23668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
82		dvnmul.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
83		dvnmul.cc	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℂ)
84	82, 83	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
85		restsspw 16092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
86		dvnmul.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
87	85, 86	sseldi 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 𝑆)
88		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
90		cnex 10017	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
91	90	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
92	84, 89, 91, 79	mptelpm 39357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
93		dvn0 23687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))
94	81, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))
95		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℤ
96		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0...0) = {0}
98	97	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . 10 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))
99	98	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
100		nfcvd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Ⅎ𝑘(𝐴 · 𝐵))
101		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
102		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
103		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℕ0
104		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
105	103, 104	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0C0) = 1
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C0) = 1)
107	102, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (0C𝑘) = 1)
109		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘0))
110	109	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘0))
111		dvnmul.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
113	112	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
114	111, 113	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛))
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
116		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
118		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑁))
119	4, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑁))
120		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) ∈ V)
121	115, 117, 119, 120	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
122	121	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘0) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
123	110, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0))
124		dvnmulf	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴)
125	82, 89, 91, 79	mptelpm 39357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
126	124, 125	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
127		dvn0 23687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
128	81, 126, 127	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘0) = 𝐹)
130	123, 129	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → (𝐶‘𝑘) = 𝐹)
131	130	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
132	131	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
133		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
134	124	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
135	133, 82, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
136	135	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐹‘𝑥) = 𝐴)
137	132, 136	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = 𝐴)
138		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
139		0m0e0 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 − 0) = 0
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 0) = 0)
141	138, 140	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
142	141	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘(0 − 𝑘)) = (𝐷‘0))
143	142	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
145	144	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
146		dvnmul.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
147		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
148	147	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
149	146, 148	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))
150	149	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐷‘0) = ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0)
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0))
152		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)) = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)))
153		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0))
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0))
155		dvnmul.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵)
156	83, 89, 91, 79	mptelpm 39357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
157	155, 156	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
158		dvn0 23687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
159	81, 157, 158	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
160	159	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘0) = 𝐺)
161	154, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = 𝐺)
162	155	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵))
163		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑋 ∈ 𝒫 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ V)
164	87, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ V)
165	162, 164	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
166	152, 161, 119, 165	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛))‘0) = 𝐺)
167	151, 166	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0) = 𝐺)
168	167	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘0)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
169	168	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘0)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
170	162, 83	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) = 𝐵)
171	170	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (𝐺‘𝑥) = 𝐵)
172	145, 169, 171	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥) = 𝐵)
173	137, 172	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)) = (𝐴 · 𝐵))
174	108, 173	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (1 · (𝐴 · 𝐵)))
175	84	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → (1 · (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
177	174, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 0) → ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝐴 · 𝐵))
178		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
180	100, 101, 177, 179, 84	sumsnd 39185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝐴 · 𝐵))
181	99, 180	eqtr2d 2657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐵) = Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))
182	181	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
183	94, 182	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥)))))
184	183	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘0) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...0)((0C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(0 − 𝑘))‘𝑥))))))
185		simp3 1063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → 𝜑)
186		simp1 1061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
187		simp2 1062	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
188		pm3.35 611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
189	185, 187, 188	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
190	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
191	92	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
192		elfzonn0 12512	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
194		dvnp1 23688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
195	190, 191, 193, 194	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
196	195	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)))
197		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))))
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖)) = (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))))
199		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆)
200		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
201	79	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
202	86	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
203		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (0...𝑖) ∈ Fin)
204	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
205		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℤ)
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℤ)
207	204, 206	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℕ0)
208	207	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
209	208	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
210	209	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
211		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝜑)
212		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ∈ ℤ)
213		elfzoel2 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
214	213	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑁 ∈ ℤ)
215	212, 214, 206	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
216		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ 𝑘)
217	216	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ 𝑘)
218	206	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℝ)
219	213	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
220	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑁 ∈ ℝ)
221	192	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℝ)
223		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ≤ 𝑖)
224	223	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ 𝑖)
225		elfzolt2 12479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 < 𝑁)
227	218, 222, 220, 224, 226	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 < 𝑁)
228	218, 220, 227	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ 𝑁)
229	215, 217, 228	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
230		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
231	229, 230	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
232	231	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
233		dvnmul.dvnf	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
234	111	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
235		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) ∈ V)
236	234, 235	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
237	236	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘):𝑋⟶ℂ))
238	233, 237	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
239	211, 232, 238	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
240	239	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
241		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
242	240, 241	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
243	192	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
244	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℤ)
245	244, 206	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ)
246	212, 214, 245	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ))
247		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
248	247	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑖 ∈ ℝ)
249	205	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℝ)
250	248, 249	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ 𝑖))
251	223, 250	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑘))
252	251	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ (𝑖 − 𝑘))
253	222, 218	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℝ)
254	220, 218	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
255	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ∈ ℝ)
256	220, 255	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ))
257		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
258	256, 257	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
259	222, 220, 218, 226	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < (𝑁 − 𝑘))
260	255, 218, 220, 217	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
261	253, 254, 258, 259, 260	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < (𝑁 − 0))
262	219	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
263	262	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
264	263	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
265	261, 264	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) < 𝑁)
266	253, 220, 265	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)
267	246, 252, 266	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ∧ (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)))
268		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑖 − 𝑘) ∧ (𝑖 − 𝑘) ≤ 𝑁)))
269	267, 268	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
270	269	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
271		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 − 𝑘) ∈ V
272		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)))
273	272	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁))))
274		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
275	274	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
276	273, 275	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)))
277		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
278		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
279	278	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))))
280		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗))
281	280	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ))
282	279, 281	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)))
283		dvnmul.dvng	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
284	277, 282, 283	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
285	271, 276, 284	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
286	211, 270, 285	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
287	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐷 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)))
288		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = (𝑖 − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
289	288	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = (𝑖 − 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
290		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)) ∈ V)
291	287, 289, 269, 290	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
292	291	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
293	292	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
294	286, 293	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
295	294	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
296	295, 241	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
297	242, 296	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
298	210, 297	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
299	210	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
300	244	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
301	300, 206	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
302	212, 214, 301	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ))
303		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
304	248, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
305		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
306	249, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
307	249	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 < (𝑘 + 1))
308		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 1 ∈ ℝ)
309	249, 248, 308, 223	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
310	249, 306, 304, 307, 309	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 < (𝑖 + 1))
311	249, 304, 310	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
312	311	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
313	222, 303	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
314	313, 218	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑖 + 1)))
315	312, 314	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘))
316	313, 218	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
317		elfzop1le2 39502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
318	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
319	313, 220, 218, 318	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))
320	260, 264	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑁 − 𝑘) ≤ 𝑁)
321	316, 254, 220, 319, 320	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)
322	302, 315, 321	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
323		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
324	322, 323	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
325	324	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
326		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ V
327		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)))
328	327	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))))
329		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
330	329	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
331	328, 330	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)))
332	326, 331, 284	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
333	211, 325, 332	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
334	149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐷 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛)))
335		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘)) → 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
336	335	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = ((𝑖 + 1) − 𝑘)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
337		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) ∈ V)
338	334, 336, 325, 337	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
339	338	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
340	333, 339	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
341	340	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
342	242	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
343	341, 342	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
344	343	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
345	206	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
346	212, 214, 345	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ))
347	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ∈ ℝ)
348	347, 249, 306, 216, 307	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 < (𝑘 + 1))
349	347, 306, 348	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
350	349	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 0 ≤ (𝑘 + 1))
351	218, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
352	309	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
353	351, 313, 220, 352, 318	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)
354	346, 350, 353	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
355		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)))
356	354, 355	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
357	356	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))
358		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 + 1) ∈ V
359		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)))
360	359	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁))))
361		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
362	361	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ))
363	360, 362	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
364		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))
365		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
366	111, 365	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝐶
367		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘𝑗
368	366, 367	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘𝑗)
369		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
370		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘ℂ
371	368, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ
372	364, 371	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
373		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘𝑗))
374	373	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ))
375	279, 374	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)))
376	372, 375, 238	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
377	358, 363, 376	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)
378	211, 357, 377	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)):𝑋⟶ℂ)
379	378	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
380	296	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
381	379, 380	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
382	341, 342	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) ∈ ℂ)
383	381, 382	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) ∈ ℂ)
384	344, 383	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
385	299, 384	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) ∈ ℂ)
386	385	3impa 1259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) ∈ ℂ)
387	211, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
388	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
389	211, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑋 ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑆))
390	387, 389, 209	dvmptconst 40129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑖C𝑘))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 0))
391	297	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
392	211, 232, 236	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
393	392	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘) = (𝐶‘𝑘))
394	239	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘𝑘) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)))
395	393, 394	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘))
396	395	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
397	387, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
398	211, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
399		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → 𝑘 ∈ ℕ0)
400	399	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
401		dvnp1 23688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
402	397, 398, 400, 401	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)))
403	402	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑘)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
404	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐶 = (𝑛 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛)))
405		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
406	405	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑛 = (𝑘 + 1)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘𝑛) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
407		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) ∈ V)
408	404, 406, 357, 407	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)))
409	408	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(𝑘 + 1)))
410	378	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
411	409, 410	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐹)‘(𝑘 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
412	396, 403, 411	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥)))
413	292	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)))
414	294	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
415	413, 414	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘)))
416	415	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
417	211, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
418		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0)
419	418	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0)
420		dvnp1 23688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ (𝑖 − 𝑘) ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
421	397, 417, 419, 420	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))))
422	421	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘(𝑖 − 𝑘))) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)))
423	222	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℂ)
424		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 1 ∈ ℂ)
425	218	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℂ)
426	423, 424, 425	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) = ((𝑖 − 𝑘) + 1))
427	426	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 − 𝑘) + 1) = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
428	427	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
429	428	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
430	338	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
431	340	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
432	429, 430, 431	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘((𝑖 − 𝑘) + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
433	416, 422, 432	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
434	387, 342, 379, 412, 380, 341, 433	dvmptmul 23724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥)))))
435	387, 299, 388, 390, 391, 383, 434	dvmptmul 23724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))))
436	391	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = 0)
437	344	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))
438	384, 299	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
439	437, 438	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
440	436, 439	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘))) = (0 + ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
441	385	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0 + ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
442	440, 441	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘))) = ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
443	442	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((0 · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + (((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) · ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))) · (𝑖C𝑘)))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
444	435, 443	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
445	199, 200, 201, 202, 203, 298, 386, 444	dvmptfsum 23738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
446	209	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
447	381	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
448		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
449		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
450	449	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))))
451		anass 681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))))
452	451	bicomi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖))) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
453	450, 452	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
454	448, 453	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)))
455	454	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ))
456	342, 455	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
457	454	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ))
458	341, 457	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
459	456, 458	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
460	446, 447, 459	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
461	460	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
462	203	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...𝑖) ∈ Fin)
463	446, 447	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
464	446, 459	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
465	462, 463, 464	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
466		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑖C𝑘) = (𝑖Cℎ))
467		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 + 1) = (ℎ + 1))
468	467	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝐶‘(𝑘 + 1)) = (𝐶‘(ℎ + 1)))
469	468	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥))
470		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑖 − 𝑘) = (𝑖 − ℎ))
471	470	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝐷‘(𝑖 − 𝑘)) = (𝐷‘(𝑖 − ℎ)))
472	471	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))
473	469, 472	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
474	466, 473	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))))
475		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎℎ(0...𝑖)
476		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘(0...𝑖)
477		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎℎ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)))
478		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖Cℎ)
479		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘 ·
480		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(ℎ + 1)
481	366, 480	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(ℎ + 1))
482		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘𝑥
483	481, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥)
484		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
485	146, 484	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
486		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 − ℎ)
487	485, 486	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 − ℎ))
488	487, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)
489	483, 479, 488	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))
490	478, 479, 489	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
491	474, 475, 476, 477, 490	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)))
492	491	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))))
493		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℤ)
494	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℤ)
495	243	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑖 ∈ ℤ)
496		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
497		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘ℎ
498	497, 476	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘 ℎ ∈ (0...𝑖)
499	496, 498	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖))
500	490, 370	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ
501	499, 500	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)
502		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = ℎ → (𝑘 ∈ (0...𝑖) ↔ ℎ ∈ (0...𝑖)))
503	502	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) ↔ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖))))
504	474	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ ↔ ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ))
505	503, 504	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = ℎ → (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ) ↔ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)))
506	501, 505, 463	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ℎ ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) ∈ ℂ)
507		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝑖Cℎ) = (𝑖C(𝑗 − 1)))
508		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (ℎ + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
509	508	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝐶‘(ℎ + 1)) = (𝐶‘((𝑗 − 1) + 1)))
510	509	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥))
511		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝑖 − ℎ) = (𝑖 − (𝑗 − 1)))
512	511	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (𝐷‘(𝑖 − ℎ)) = (𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1))))
513	512	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))
514	510, 513	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥)) = (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)))
515	507, 514	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ = (𝑗 − 1) → ((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
516	493, 494, 495, 506, 515	fsumshft 14512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σℎ ∈ (0...𝑖)((𝑖Cℎ) · (((𝐶‘(ℎ + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − ℎ))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
517	492, 516	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
518		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 + 1) = 1
519	518	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 + 1)...(𝑖 + 1)) = (1...(𝑖 + 1))
520	519	sumeq1i 14428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)))
521	520	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ ((0 + 1)...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))))
522		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
523	522	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
524		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ∈ ℂ)
525	523, 524	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
526	525	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → (𝐶‘((𝑗 − 1) + 1)) = (𝐶‘𝑗))
527	526	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘𝑗)‘𝑥))
528	527	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) = ((𝐶‘𝑗)‘𝑥))
529	221	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℂ)
530	529	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
531	523	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
532	524	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
533	530, 531, 532	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 − (𝑗 − 1)) = ((𝑖 + 1) − 𝑗))
534	533	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1))) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)))
535	534	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))
536	528, 535	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))
537	536	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
538	537	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
539	538	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
540		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)
541		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
542		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
543	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ0)
544	522	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
545		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
546	544, 545	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
547	543, 546	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
548	547	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
549	548	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
550	549	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
551	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
552		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
553	213	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
554	552, 553, 544	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
555	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 ∈ ℝ)
556	522	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ)
557		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ∈ ℝ)
558		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 < 1
559	558	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 < 1)
560		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 1 ≤ 𝑗)
561	555, 557, 556, 559, 560	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 < 𝑗)
562	555, 556, 561	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 0 ≤ 𝑗)
563	562	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ 𝑗)
564	556	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ)
565	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℝ)
566		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 1 ∈ ℝ)
567	565, 566	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
568	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
569		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ≤ (𝑖 + 1))
570	569	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ≤ (𝑖 + 1))
571	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
572	564, 567, 568, 570, 571	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ≤ 𝑁)
573	554, 563, 572	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
574		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑁)))
575	573, 574	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
576	575	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
577	551, 576, 376	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
578	577	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
579		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
580	578, 579	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) ∈ ℂ)
581	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
582	581	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
583	582, 544	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ)
584	552, 553, 583	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ))
585	567, 564	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ↔ 𝑗 ≤ (𝑖 + 1)))
586	570, 585	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗))
587	567, 564	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℝ)
588	587	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗))
589	556, 561	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
590	589	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
591	567, 590	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < (𝑖 + 1))
592	587, 567, 568, 591, 571	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < 𝑁)
593	587, 587, 568, 588, 592	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) < 𝑁)
594	587, 568, 593	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)
595	584, 586, 594	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)))
596		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ≤ 𝑁)))
597	595, 596	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
598	597	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
599		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))
600		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − 𝑗)
601	485, 600	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))
602	601, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ
603	599, 602	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
604		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ V
605		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)))
606	605	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁))))
607		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)))
608	607	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ))
609	606, 608	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = ((𝑖 + 1) − 𝑗) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)))
610	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘)))
611		fvexd 6203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘) ∈ V)
612	610, 611	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘) = ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘))
613	612	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝐺)‘𝑘):𝑋⟶ℂ))
614	283, 613	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
615	603, 604, 609, 614	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑗) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
616	551, 598, 615	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
617	616	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)):𝑋⟶ℂ)
618	617, 579	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) ∈ ℂ)
619	580, 618	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) ∈ ℂ)
620	550, 619	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
621		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℤ)
622	243	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
623	518	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 = (0 + 1)
624	623	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 = (0 + 1))
625	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ∈ ℝ)
626		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
627	192	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑖)
628	625, 221, 626, 627	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (0 + 1) ≤ (𝑖 + 1))
629	624, 628	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ≤ (𝑖 + 1))
630	621, 622, 629	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (1 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑖 + 1)))
631		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑖 + 1)))
632	630, 631	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
633		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
634	632, 633	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
635	634	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖 + 1) ∈ (1...(𝑖 + 1)))
636		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑖 + 1) − 1))
637	636	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑖C(𝑗 − 1)) = (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)))
638		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘(𝑖 + 1)))
639	638	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) = ((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥))
640		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑖 + 1) − 𝑗) = ((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))
641	640	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))))
642	641	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))
643	639, 642	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
644	637, 643	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
645	540, 541, 542, 620, 635, 644	fsumsplit1 39804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = (((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
646		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 1 ∈ ℂ)
647	529, 646	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − 1) = 𝑖)
648	647	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) = (𝑖C𝑖))
649		bcnn 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖C𝑖) = 1)
650	192, 649	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C𝑖) = 1)
651	648, 650	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) = 1)
652	529, 646	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
653	652	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)) = 0)
654	653	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))) = (𝐷‘0))
655	654	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥) = ((𝐷‘0)‘𝑥))
656	655	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
657	651, 656	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))))
658	657	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))))
659		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝜑)
660		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
661	660	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
662		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
663		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖 + 1)
664	366, 663	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(𝑖 + 1))
665	664, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ
666	662, 665	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
667		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
668		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
669	668	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))))
670		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐶‘𝑘) = (𝐶‘(𝑖 + 1)))
671	670	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ))
672	669, 671	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
673	666, 667, 672, 238	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
674	659, 661, 673	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
675	674	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
676		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁))
677		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Ⅎ𝑘0
678	485, 677	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘0)
679	678, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘0):𝑋⟶ℂ
680	676, 679	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
681		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 0 ∈ V
682		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↔ 0 ∈ (0...𝑁)))
683	682	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁))))
684		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘0))
685	684	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ))
686	683, 685	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)))
687	680, 681, 686, 614	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
688	1, 119, 687	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
689	688	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ)
690	689	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘0)‘𝑥) ∈ ℂ)
691	675, 690	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) ∈ ℂ)
692	691	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
693	658, 692	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
694		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 − 1) = 0
695	694	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℤ≥‘(1 − 1)) = (ℤ≥‘0)
696	3	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ℤ≥‘0) = ℕ0
697	695, 696	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1))
698	697	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ℕ0 = (ℤ≥‘(1 − 1)))
699	192, 698	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)))
700		fzdifsuc2 39525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘(1 − 1)) → (1...𝑖) = ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
701	699, 700	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (1...𝑖) = ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
702	701	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}) = (1...𝑖))
703	702	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
704	703	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))))
705	693, 704	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C((𝑖 + 1) − 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑗 ∈ ((1...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
706	539, 645, 705	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1))((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘((𝑗 − 1) + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − (𝑗 − 1)))‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
707	517, 521, 706	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))))
708		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖C0)
709	366, 677	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘0)
710	709, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘0)‘𝑥)
711		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − 0)
712	485, 711	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))
713	712, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)
714	710, 479, 713	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))
715	708, 479, 714	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
716	696	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (ℤ≥‘0) = ℕ0)
717	192, 716	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘0))
718		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝑖))
719	717, 718	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 0 ∈ (0...𝑖))
720	719	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ∈ (0...𝑖))
721		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑖C𝑘) = (𝑖C0))
722	109	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐶‘0)‘𝑥))
723		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖 + 1) − 𝑘) = ((𝑖 + 1) − 0))
724	723	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 0)))
725	724	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))
726	722, 725	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
727	721, 726	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
728	496, 715, 462, 464, 720, 727	fsumsplit1 39804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
729	652	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1) − 0) = (𝑖 + 1))
730	729	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 0)) = (𝐷‘(𝑖 + 1)))
731	730	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥) = ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))
732	731	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
733	732	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
734	733	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
735	734	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
736		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖C0) = 1)
737	192, 736	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖C0) = 1)
738	737	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
739	738	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
740	709, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐶‘0):𝑋⟶ℂ
741	676, 740	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
742	109	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ))
743	683, 742	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)))
744	741, 681, 743, 238	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 ∈ (0...𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
745	1, 119, 744	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
746	745	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐶‘0):𝑋⟶ℂ)
747	746	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐶‘0)‘𝑥) ∈ ℂ)
748	485, 663	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 + 1))
749	748, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ
750	662, 749	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
751		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘(𝑖 + 1)))
752	751	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ))
753	669, 752	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)))
754	750, 667, 753, 614	vtoclf 3258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
755	659, 661, 754	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘(𝑖 + 1)):𝑋⟶ℂ)
756	755	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥) ∈ ℂ)
757	747, 756	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) ∈ ℂ)
758	757	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
759	739, 758	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) = (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)))
760		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (0..^𝑁)
761		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 1 ∈ ℤ)
762	243	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑖 ∈ ℤ)
763		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ (0...𝑖))
764		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ∈ ℤ)
765	763, 764	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℤ)
766	765	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ∈ ℤ)
767	761, 762, 766	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
768		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ∈ ℕ0)
769	763, 768	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℕ0)
770		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ≠ 0)
771	769, 770	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0))
772		elnnne0 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ (𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ≠ 0))
773	771, 772	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ ℕ)
774		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑗)
775	773, 774	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 1 ≤ 𝑗)
776	775	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 1 ≤ 𝑗)
777		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) → 𝑗 ≤ 𝑖)
778	763, 777	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ≤ 𝑖)
779	778	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ≤ 𝑖)
780	767, 776, 779	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
781		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
782	780, 781	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})) → 𝑗 ∈ (1...𝑖))
783	782	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) → 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
784		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ∈ ℤ)
785		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑖 ∈ ℤ)
786		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ℤ)
787	784, 785, 786	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ))
788	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ∈ ℝ)
789	786	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ℝ)
790		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 1 ∈ ℝ)
791	558	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 < 1)
792		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 1 ≤ 𝑗)
793	788, 790, 789, 791, 792	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 < 𝑗)
794	788, 789, 793	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 0 ≤ 𝑗)
795		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ≤ 𝑖)
796	787, 794, 795	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
797		elfz2 12333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑖) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑗 ∧ 𝑗 ≤ 𝑖)))
798	796, 797	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ (0...𝑖))
799	788, 793	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ≠ 0)
800		nelsn 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑗 ≠ 0 → ¬ 𝑗 ∈ {0})
801	799, 800	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → ¬ 𝑗 ∈ {0})
802	798, 801	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}))
803	802	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}))
804	803	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})))
805	783, 804	impbid 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
806	760, 805	alrimi 2082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ∀𝑗(𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
807		dfcleq 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖) ↔ ∀𝑗(𝑗 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0}) ↔ 𝑗 ∈ (1...𝑖)))
808	806, 807	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖))
809	808	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
810	809	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
811	759, 810	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
812	728, 735, 811	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
813	707, 812	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
814		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑖) ∈ Fin)
815	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
816	803, 765	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ ℤ)
817		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 1 ∈ ℤ)
818	816, 817	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
819	815, 818	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℕ0)
820	819	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
821	820	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
822	821	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑗 − 1)) ∈ ℂ)
823		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
824		fzelp1 12393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 ∈ (1...𝑖) → 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)))
825	824	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → 𝑗 ∈ (1...(𝑖 + 1)))
826	823, 825, 580	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) ∈ ℂ)
827	825, 618	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) ∈ ℂ)
828	826, 827	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) ∈ ℂ)
829	822, 828	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
830	814, 829	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) ∈ ℂ)
831	192	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
832		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ ℤ)
833	832	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ ℤ)
834	831, 833	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℕ0)
835	834	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
836	835	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
837	836	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C𝑘) ∈ ℂ)
838		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
839		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
840	798	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...𝑖) ⊆ (0...𝑖)
841		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ (1...𝑖))
842	840, 841	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑖) → 𝑘 ∈ (0...𝑖))
843	842	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → 𝑘 ∈ (0...𝑖))
844	838, 839, 843, 456	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
845	843, 458	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
846	844, 845	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
847	837, 846	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
848	814, 847	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
849	691, 830, 757, 848	add4d 10264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
850		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 − 1) = (𝑘 − 1))
851	850	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑖C(𝑗 − 1)) = (𝑖C(𝑘 − 1)))
852		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐶‘𝑗) = (𝐶‘𝑘))
853	852	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐶‘𝑗)‘𝑥) = ((𝐶‘𝑘)‘𝑥))
854		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) − 𝑗) = ((𝑖 + 1) − 𝑘))
855	854	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
856	855	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))
857	853, 856	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)) = (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
858	851, 857	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = ((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
859		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(1...𝑖)
860		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(1...𝑖)
861		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝑖C(𝑗 − 1))
862	368, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘𝑗)‘𝑥)
863	601, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)
864	862, 479, 863	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))
865	861, 479, 864	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥)))
866		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
867	858, 859, 860, 865, 866	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))
868	867	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
869	868	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
870		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
871	833, 870	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
872	831, 871	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
873	872	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
874	873	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
875	874	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
876	875, 846	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
877	814, 876, 847	fsumadd 14470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
878	877	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
879	873, 835	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) = ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))))
880		bcpasc 13108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
881	831, 833, 880	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖C𝑘) + (𝑖C(𝑘 − 1))) = ((𝑖 + 1)C𝑘))
882	879, 881	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) = ((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)))
883	882	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
884	883	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
885	884	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
886	875, 837, 846	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖C(𝑘 − 1)) + (𝑖C𝑘)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
887	885, 886	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
888	887	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖C(𝑘 − 1)) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) + ((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
889	869, 878, 888	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
890	889	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
891		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
892	831, 891	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
893	892, 833	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
894	893	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
895	894	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
896	895	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
897	896, 846	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
898	814, 897	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
899	691, 757, 898	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))))
900	192, 891	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
901		bcn0 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1)C0) = 1)
902	900, 901	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1)C0) = 1)
903	902, 732	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
904	903	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))))
905	904, 758	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) = (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
906	808	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((0...𝑖) ∖ {0}) = (1...𝑖))
907	906	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1...𝑖) = ((0...𝑖) ∖ {0}))
908	907	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
909	905, 908	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
910		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1)C0)
911	910, 479, 714	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥)))
912	204, 891	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
913	912, 206	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
914	913	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
915	914	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
916	915	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
917	916, 459	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
918		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑖 + 1)C𝑘) = ((𝑖 + 1)C0))
919	918, 726	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 0 → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))))
920	496, 911, 462, 917, 720, 919	fsumsplit1 39804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
921	920	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑖 + 1)C0) · (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 0))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...𝑖) ∖ {0})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
922	909, 921	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
923	922	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
924		bcnn 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
925	900, 924	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
926	925	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) = 1)
927	926	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
928	654	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))) = (𝐷‘0))
929	928	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘0):𝑋⟶ℂ))
930	689, 929	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ)
931	930	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))):𝑋⟶ℂ)
932		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
933	931, 932	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥) ∈ ℂ)
934	675, 933	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) ∈ ℂ)
935	934	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
936	656	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)))
937	927, 935, 936	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) = (((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
938		fzdifsuc 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑖) = ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
939	717, 938	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (0...𝑖) = ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)}))
940	939	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
941	940	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
942	937, 941	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = ((((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
943		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1))
944	664, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥)
945		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))
946	485, 945	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))
947	946, 482	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)
948	944, 479, 947	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))
949	943, 479, 948	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑘(((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
950		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (0...(𝑖 + 1)) ∈ Fin)
951	900	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
952		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
953	952	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
954	951, 953	bccld 39531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℕ0)
955	954	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
956	955	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
957	956	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1)C𝑘) ∈ ℂ)
958	659	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
959	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℤ)
960	213	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
961	959, 960, 953	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ))
962		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 0 ≤ 𝑘)
963	962	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ 𝑘)
964	953	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ ℝ)
965	951	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ)
966	219	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
967		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1)) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
968	967	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ≤ (𝑖 + 1))
969	317	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)
970	964, 965, 966, 968, 969	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ≤ 𝑁)
971	961, 963, 970	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
972	971, 230	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
973	972	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
974	958, 973, 238	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
975	974	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐶‘𝑘):𝑋⟶ℂ)
976		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
977	975, 976	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) ∈ ℂ)
978	958	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 𝜑)
979	622	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
980	979, 953	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ)
981	959, 960, 980	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ))
982	965, 964	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ (𝑖 + 1)))
983	968, 982	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘))
984	965, 964	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℝ)
985	966, 964	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℝ)
986	966, 178, 257	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 0) ∈ ℝ)
987	965, 966, 964, 969	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 𝑘))
988	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → 0 ∈ ℝ)
989	988, 964, 966, 963	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
990	984, 985, 986, 987, 989	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ (𝑁 − 0))
991	263	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
992	990, 991	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)
993	981, 983, 992	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ≤ 𝑁)))
994	993, 323	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
995	994	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
996	995	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁))
997		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (𝐷‘𝑗) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)))
998	997	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → ((𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ))
999	328, 998	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑗 = ((𝑖 + 1) − 𝑘) → (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)))
1000	485, 367	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘𝑗)
1001	1000, 369, 370	nff 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ
1002	364, 1001	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
1003		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐷‘𝑘) = (𝐷‘𝑗))
1004	1003	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ ↔ (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ))
1005	279, 1004	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑘):𝑋⟶ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ)))
1006	1002, 1005, 614	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘𝑗):𝑋⟶ℂ)
1007	326, 999, 1006	vtocl 3259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑖 + 1) − 𝑘) ∈ (0...𝑁)) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
1008	978, 996, 1007	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)):𝑋⟶ℂ)
1009	1008, 976	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) ∈ ℂ)
1010	977, 1009	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) ∈ ℂ)
1011	957, 1010	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) ∈ ℂ)
1012	900, 716	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
1013		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑖 + 1)))
1014	1012, 1013	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑖 + 1)))
1015	1014	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑖 + 1) ∈ (0...(𝑖 + 1)))
1016		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑖 + 1)C𝑘) = ((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)))
1017	670	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐶‘𝑘)‘𝑥) = ((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥))
1018		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑖 + 1) − 𝑘) = ((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))
1019	1018	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘)) = (𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1))))
1020	1019	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥) = ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))
1021	1017, 1020	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)) = (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥)))
1022	1016, 1021	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = (((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))))
1023	496, 949, 950, 1011, 1015, 1022	fsumsplit1 39804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))) = ((((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1024	1023	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝑖 + 1)C(𝑖 + 1)) · (((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − (𝑖 + 1)))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ ((0...(𝑖 + 1)) ∖ {(𝑖 + 1)})(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
1025	923, 942, 1024	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + ((((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥)) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
1026	890, 899, 1025	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((((𝐶‘(𝑖 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘0)‘𝑥)) + (((𝐶‘0)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 + 1))‘𝑥))) + (Σ𝑗 ∈ (1...𝑖)((𝑖C(𝑗 − 1)) · (((𝐶‘𝑗)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑗))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
1027	813, 849, 1026	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
1028	461, 465, 1027	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))
1029	1028	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · ((((𝐶‘(𝑘 + 1))‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥)) + (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1030	445, 1029	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1031	1030	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → (𝑆 D (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1032	196, 198, 1031	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) ∧ ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1033	185, 186, 189, 1032	syl21anc 1325	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 ∈ (0..^𝑁) ∧ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) ∧ 𝜑) → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))
1034	1033	3exp 1264	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑖) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑖)((𝑖C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑖 − 𝑘))‘𝑥))))) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘(𝑖 + 1)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑖 + 1))(((𝑖 + 1)C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘((𝑖 + 1) − 𝑘))‘𝑥)))))))
1035	36, 50, 64, 78, 184, 1034	fzind2 12586	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑛) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑛 − 𝑘))‘𝑥))))))
1036	22, 1035	vtoclg 3266	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))))
1037	2, 6, 1036	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥))))))
1038	1, 1037	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D𝑛 (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴 · 𝐵)))‘𝑁) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · (((𝐶‘𝑘)‘𝑥) · ((𝐷‘(𝑁 − 𝑘))‘𝑥)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ⊆ wss 3574  𝒫 cpw 4158  {csn 4177  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_pm cpm 7858  Fincfn 7955  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  Ccbc 13089  Σcsu 14416   ↾_t crest 16081  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   D cdv 23627   D^𝑛 cdvn 23628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632

This theorem is referenced by:  dvnprodlem2  40162