Theorem elovolmr 23244

Description: Sufficient condition for elementhood in the set 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval.1	⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
ovolval.2	⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
elovolmr	⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐴   𝑓,𝐹   𝑆,𝑓,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑀(𝑦,𝑓)

Proof of Theorem elovolmr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
2	1, 1	xpex 6962	. . . . 5 ⊢ (ℝ × ℝ) ∈ V
3	2	inex2 4800	. . . 4 ⊢ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∈ V
4		nnex 11026	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
5	3, 4	elmap 7886	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ↔ 𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
6		ovolval.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹))
7		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → 𝑓 = 𝐹)
8	7	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → 𝐹 = 𝑓)
9	8	coeq2d 5284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹) = ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓))
10	9	seqeq3d 12809	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝐹)) = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
11	6, 10	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
12	11	rneqd 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran 𝑆 = ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)))
13	12	supeq1d 8352	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))
14	13	biantrud 528	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))))
15		coeq2 5280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((,) ∘ 𝑓) = ((,) ∘ 𝐹))
16	15	rneqd 5353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ran ((,) ∘ 𝑓) = ran ((,) ∘ 𝐹))
17	16	unieqd 4446	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) = ∪ ran ((,) ∘ 𝐹))
18	17	sseq2d 3633	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))
19	14, 18	bitr3d 270	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)))
20	19	rspcev 3309	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
21	5, 20	sylanbr 490	. 2 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) → ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
22		ovolval.1	. . 3 ⊢ 𝑀 = {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ 𝑦 = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < ))}
23	22	elovolm 23243	. 2 ⊢ (sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀 ↔ ∃𝑓 ∈ (( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝑓) ∧ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) = sup(ran seq1( + , ((abs ∘ − ) ∘ 𝑓)), ℝ*, < )))
24	21, 23	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐹:ℕ⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ∧ 𝐴 ⊆ ∪ ran ((,) ∘ 𝐹)) → sup(ran 𝑆, ℝ*, < ) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∪ cuni 4436   × cxp 5112  ran crn 5115   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  supcsup 8346  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  (,)cioo 12175  seqcseq 12801  abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  ovollb  23247  ovolshftlem1  23277