Theorem nnex 11026

Description: The set of positive integers exists. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnex	⊢ ℕ ∈ V

Proof of Theorem nnex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10017	. 2 ⊢ ℂ ∈ V
2		nnsscn 11025	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
3	1, 2	ssexi 4803	1 ⊢ ℕ ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ℂcc 9934  ℕcn 11020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021

This theorem is referenced by:  dfnn2  11033  nn0ex  11298  rpnnen1lem1OLD  11821  rpnnen1lem3OLD  11822  rpnnen1lem4OLD  11823  rpnnen1lem5OLD  11824  nn0ennn  12778  facmapnn  13072  isercolllem2  14396  supcvg  14588  trireciplem  14594  expcnv  14596  geo2lim  14606  qnnen  14942  rpnnen2lem1  14943  rpnnen2lem2  14944  rpnnen  14956  rucALT  14959  prmex  15391  unbenlem  15612  vdwapfval  15675  vdwapf  15676  vdwlem6  15690  vdwlem7  15691  vdwlem8  15692  vdwlem11  15695  prmgaplcm  15764  prmgapprmo  15766  ndxarg  15882  odval  17953  gexval  17993  ablfac1b  18469  pnrmopn  21147  1stcfb  21248  hausmapdom  21303  met1stc  22326  met2ndci  22327  rectbntr0  22635  metcld2  23105  elovolm  23243  elovolmr  23244  ovolmge0  23245  ovolgelb  23248  ovolctb  23258  ovol0  23261  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  ovoliunlem1  23270  ovoliunlem2  23271  ovolshftlem2  23278  ovolicc2  23290  ioombl1  23330  mbfimaopnlem  23422  itg1climres  23481  mbfi1fseqlem6  23487  mbfi1flimlem  23489  mbfmullem2  23491  itg2monolem1  23517  itg2addlem  23525  plyeq0lem  23966  leibpi  24669  dfef2  24697  emcllem4  24725  emcllem6  24727  emcllem7  24728  lgamgulmlem6  24760  lgamcvg2  24781  basellem6  24812  basellem7  24813  basellem8  24814  basellem9  24815  vmaval  24839  sqff1o  24908  0sgmppw  24923  dchrisumlem3  25180  dirith2  25217  nmounbseqiALT  27633  nmobndseqiALT  27635  h2hcau  27836  h2hlm  27837  hcau  28041  hlimi  28045  hlimadd  28050  hhcms  28060  isch2  28080  chlimi  28091  hlim0  28092  hhsscms  28136  padct  29497  smatfval  29861  lmdvg  29999  esumfsup  30132  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  sigapildsys  30225  measiun  30281  voliune  30292  omssubadd  30362  carsggect  30380  carsgclctunlem2  30381  eulerpartlems  30422  eulerpartleme  30425  eulerpartlem1  30429  eulerpartlemb  30430  eulerpartlemt  30433  eulerpartgbij  30434  eulerpartlemr  30436  eulerpartlemmf  30437  eulerpartlemgvv  30438  eulerpartlemgf  30441  eulerpartlemgs2  30442  eulerpartlemn  30443  reprval  30688  repr0  30689  reprsuc  30693  reprss  30695  reprinrn  30696  reprlt  30697  hashreprin  30698  reprinfz1  30700  reprpmtf1o  30704  reprdifc  30705  breprexplemb  30709  breprexpnat  30712  vtsval  30715  circlemethnat  30719  circlevma  30720  circlemethhgt  30721  sinccvglem  31566  circum  31568  divcnvlin  31618  faclimlem2  31630  faclim2  31634  colinearex  32167  bj-ndxarg  33029  poimirlem32  33441  voliunnfl  33453  volsupnfl  33454  lmclim2  33554  geomcau  33555  rrncmslem  33631  eldioph3b  37328  lzenom  37333  diophin  37336  diophun  37337  pellexlem3  37395  pellexlem4  37396  pellexlem5  37397  eltrclrec  37972  brtrclrec  37988  iunrelexpmin1  38000  trclrelexplem  38003  dftrcl3  38012  fvtrcllb1d  38014  trclfvcom  38015  cnvtrclfv  38016  cotrcltrcl  38017  trclimalb2  38018  trclfvdecomr  38020  dfrtrcl4  38030  corcltrcl  38031  cotrclrcl  38034  hashnzfzclim  38521  dvradcnv2  38546  binomcxplemcvg  38553  binomcxplemdvsum  38554  binomcxplemnotnn0  38555  ssnnf1octb  39382  clim1fr1  39833  divcnvg  39859  limsup10ex  40005  liminf10ex  40006  wallispilem5  40286  wallispi  40287  stirlinglem1  40291  stirlinglem8  40298  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem112  40435  subsaliuncllem  40575  subsaliuncl  40576  nnfoctbdjlem  40672  nnfoctbdj  40673  ismeannd  40684  voliunsge0lem  40689  caratheodorylem2  40741  isomenndlem  40744  hoicvrrex  40770  ovnsupge0  40771  ovnlecvr  40772  ovn0lem  40779  ovnsubaddlem1  40784  ovnsubadd  40786  sge0hsphoire  40803  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  hoidmv1le  40808  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem4  40812  hoidmvlelem5  40813  hoidmvle  40814  ovnhoilem1  40815  ovnhoilem2  40816  ovnlecvr2  40824  hspmbllem2  40841  ovolval2lem  40857  ovnsubadd2lem  40859  ovolval4lem2  40864  ovolval5lem1  40866  ovolval5lem2  40867  ovnovollem1  40870  ovnovollem2  40871  vonioolem1  40894  smflimlem6  40984  smfresal  40995  nnsgrpmgm  41816  nnsgrp  41817  nnsgrpnmnd  41818