Theorem eqsqrtd 14107

Description: A deduction for showing that a number equals the square root of another. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsqrtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
eqsqrtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
eqsqrtd.3	⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
eqsqrtd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
eqsqrtd.5	⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
eqsqrtd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Proof of Theorem eqsqrtd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsqrtd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
2		sqreu 14100	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
3		reurmo 3161	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
4	1, 2, 3	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+))
5		eqsqrtd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6		eqsqrtd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) = 𝐵)
7		eqsqrtd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
8		eqsqrtd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
9		df-nel 2898	. . . 4 ⊢ ((i · 𝐴) ∉ ℝ+ ↔ ¬ (i · 𝐴) ∈ ℝ+)
10	8, 9	sylibr 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (i · 𝐴) ∉ ℝ+)
11	6, 7, 10	3jca 1242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
12		sqrtcl 14101	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐵) ∈ ℂ)
14		sqrtthlem 14102	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
16		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
17	16	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ (𝐴↑2) = 𝐵))
18		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘𝐴))
19	18	breq2d 4665	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘𝐴)))
20		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
21		neleq1 2902	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · 𝐴) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · 𝐴) ∉ ℝ+))
23	17, 19, 22	3anbi123d 1399	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)))
24		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (𝑥↑2) = ((√‘𝐵)↑2))
25	24	eqeq1d 2624	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((𝑥↑2) = 𝐵 ↔ ((√‘𝐵)↑2) = 𝐵))
26		fveq2 6191	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (ℜ‘𝑥) = (ℜ‘(√‘𝐵)))
27	26	breq2d 4665	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (0 ≤ (ℜ‘𝑥) ↔ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵))))
28		oveq2 6658	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)))
29		neleq1 2902	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝑥) = (i · (√‘𝐵)) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → ((i · 𝑥) ∉ ℝ+ ↔ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))
31	25, 27, 30	3anbi123d 1399	. . 3 ⊢ (𝑥 = (√‘𝐵) → (((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ↔ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+)))
32	23, 31	rmoi 3530	. 2 ⊢ ((∃*𝑥 ∈ ℂ ((𝑥↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝑥) ∧ (i · 𝑥) ∉ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐴) ∧ (i · 𝐴) ∉ ℝ+)) ∧ ((√‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (((√‘𝐵)↑2) = 𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(√‘𝐵)) ∧ (i · (√‘𝐵)) ∉ ℝ+))) → 𝐴 = (√‘𝐵))
33	4, 5, 11, 13, 15, 32	syl122anc 1335	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (√‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∉ wnel 2897  ∃!wreu 2914  ∃*wrmo 2915   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  ici 9938   · cmul 9941   ≤ cle 10075  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  ↑cexp 12860  ℜcre 13837  √csqrt 13973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  eqsqrt2d  14108  cphsqrtcl2  22986