Theorem fin45 9214

Description: Every IV-finite set is V-finite: if we can pack two copies of the set into itself, we can certainly leave space. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin45	⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Proof of Theorem fin45

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin4-3 9137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV ↔ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
2		simpl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ≠ ∅)
3		relen 7960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelexi 5158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
6		0sdomg 8089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	2, 7	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ∅ ≺ 𝐴)
9		0sdom1dom 8158	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≼ 𝐴)
10	8, 9	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → 1𝑜 ≼ 𝐴)
11		cdadom2 9009	. . . . . . 7 ⊢ (1𝑜 ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))
13		domen2 8103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
14	13	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 ↔ (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
15	12, 14	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → (𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴)
16		domnsym 8086	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1𝑜) ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)) → ¬ 𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜))
18	17	con2i 134	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ (𝐴 +𝑐 1𝑜) → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
19	1, 18	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴)))
20		isfin5-2 9213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → (𝐴 ∈ FinV ↔ ¬ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ≈ (𝐴 +𝑐 𝐴))))
21	19, 20	mpbird 247	1 ⊢ (𝐴 ∈ FinIV → 𝐴 ∈ FinV)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954   +_𝑐 ccda 8989  Fin^IVcfin4 9102  Fin^Vcfin5 9104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-cda 8990  df-fin4 9109  df-fin5 9111

This theorem is referenced by:  fin2so  33396