Theorem fzneuz 12421

Description: No finite set of sequential integers equals an upper set of integers. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzneuz	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Proof of Theorem fzneuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2uz 11741	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾))
3		eluzelre 11698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
4		ltp1 10861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
5		peano2re 10209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		ltnle 10117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
7	5, 6	mpdan 702	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
8	4, 7	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
10		elfzle2 12345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
11	9, 10	nsyl 135	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
12	11	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
13		nelneq2 2726	. . . 4 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
14	2, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁))
15		eqcom 2629	. . 3 ⊢ ((ℤ≥‘𝐾) = (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
16	14, 15	sylnib 318	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
17		eluzfz2 12349	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
18	17	ad2antrr 762	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
19		nelneq2 2726	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
20	18, 19	sylancom 701	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))
21	16, 20	pm2.61dan 832	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ¬ (𝑀...𝑁) = (ℤ≥‘𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)