Theorem iccgelb 12230

Description: An element of a closed interval is more than or equal to its lower bound. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iccgelb	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem iccgelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elicc1 12219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
2	1	biimpa 501	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
3	2	simp2d 1074	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)
4	3	3impa 1259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝ^*cxr 10073   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-xr 10078  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  supicc  12320  ttgcontlem1  25765  xrge0infss  29525  xrge0addgt0  29691  xrge0adddir  29692  esumcst  30125  esumpinfval  30135  oms0  30359  probmeasb  30492  broucube  33443  areaquad  37802  lefldiveq  39505  xadd0ge  39536  xrge0nemnfd  39548  eliccelioc  39747  iccintsng  39749  ge0nemnf2  39755  eliccnelico  39756  eliccelicod  39757  ge0xrre  39758  inficc  39761  iccdificc  39766  iccgelbd  39770  cncfiooiccre  40108  iblspltprt  40189  itgioocnicc  40193  itgspltprt  40195  itgiccshift  40196  fourierdlem1  40325  fourierdlem20  40344  fourierdlem24  40348  fourierdlem25  40349  fourierdlem27  40351  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  fourierdlem50  40373  fourierdlem51  40374  fourierdlem52  40375  fourierdlem64  40387  fourierdlem73  40396  fourierdlem76  40399  fourierdlem81  40404  fourierdlem92  40415  fourierdlem102  40425  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem114  40437  rrxsnicc  40520  salgencntex  40561  fge0iccico  40587  gsumge0cl  40588  sge0sn  40596  sge0tsms  40597  sge0cl  40598  sge0ge0  40601  sge0fsum  40604  sge0pr  40611  sge0prle  40618  sge0p1  40631  sge0rernmpt  40639  meage0  40692  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  carageniuncllem2  40736  omege0  40747  ovnlerp  40776  ovn0lem  40779  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811