Theorem ttgcontlem1 25765

Description: Lemma for % ttgcont . (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ttgval.n	⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
ttgitvval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ttgitvval.b	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
ttgitvval.m	⊢ − = (-g‘𝐻)
ttgitvval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
ttgelitv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
ttgelitv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
ttgbtwnid.r	⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
ttgbtwnid.2	⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
ttgitvval.p	⊢ + = (+g‘𝐻)
ttgcontlem1.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂVec)
ttgcontlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ttgcontlem1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑃)
ttgcontlem1.o	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
ttgcontlem1.p	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
ttgcontlem1.q	⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 1)
ttgcontlem1.r	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑀)
ttgcontlem1.s	⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
ttgcontlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0[,]1))
ttgcontlem1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
ttgcontlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 − 𝐴)))
ttgcontlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 − 𝐴)))
ttgcontlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))))

Assertion

Ref	Expression
ttgcontlem1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Proof of Theorem ttgcontlem1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitssre 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
2		ttgcontlem1.l	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0[,]1))
3	1, 2	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
4		ttgcontlem1.k	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (0[,]1))
5	1, 4	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
6	3, 5	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ∈ ℝ)
7		0re 10040	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		iccssre 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
9	7, 3, 8	sylancr 695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ ℝ)
10		ttgcontlem1.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0[,]𝐿))
11	9, 10	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11, 5	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℝ)
13	6, 12	resubcld 10458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
14		1red 10055	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
15	11, 14	remulcld 10070	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℝ)
16	15, 12	resubcld 10458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ)
17	11	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
18		1cnd 10056	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
19	5	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	subdid 10486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
21	18, 19	subcld 10392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℂ)
22		ttgcontlem1.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
23		ttgcontlem1.q	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 1)
24	23	necomd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 𝐾)
25	18, 19, 24	subne0d 10401	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ≠ 0)
26	17, 21, 22, 25	mulne0d 10679	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ≠ 0)
27	20, 26	eqnetrrd 2862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ≠ 0)
28	13, 16, 27	redivcld 10853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ)
29		0xr 10086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
31	3	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ*)
32		iccgelb 12230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 0 ≤ 𝑀)
33	30, 31, 10, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
34	11, 33, 22	ne0gt0d 10174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
35	11, 34	elrpd 11869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
36	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
37		iccleub 12229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 ≤ 1)
38	30, 36, 4, 37	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 1)
39	5, 14	ltlend 10182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (𝐾 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝐾)))
40	38, 24, 39	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 < 1)
41		difrp 11868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
42	5, 14, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 < 1 ↔ (1 − 𝐾) ∈ ℝ+))
43	40, 42	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ ℝ+)
44	35, 43	rpmulcld 11888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1 − 𝐾)) ∈ ℝ+)
45	20, 44	eqeltrrd 2702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℝ+)
46	3, 11	resubcld 10458	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℝ)
47		iccleub 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐿 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ (0[,]𝐿)) → 𝑀 ≤ 𝐿)
48	30, 31, 10, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝐿)
49	3, 11	subge0d 10617	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝐿 − 𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝐿))
50	48, 49	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐿 − 𝑀))
51		iccgelb 12230	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝐾 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝐾)
52	30, 36, 4, 51	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
53	46, 5, 50, 52	mulge0d 10604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿 − 𝑀) · 𝐾))
54	3	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℂ)
55	54, 17, 19	subdird 10487	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) · 𝐾) = ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
56	53, 55	breqtrd 4679	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)))
57	13, 45, 56	divge0d 11912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
58		ttgcontlem1.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾))
59		ttgcontlem1.p	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ 0)
60	5, 52, 59	ne0gt0d 10174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐾)
61	5, 60	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
62	3, 11, 61	lemuldivd 11921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀 ↔ 𝐿 ≤ (𝑀 / 𝐾)))
63	58, 62	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ 𝑀)
64	17	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
65	63, 64	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · 𝐾) ≤ (𝑀 · 1))
66	6, 15, 12, 65	lesub1dd 10643	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
67	17, 18	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) ∈ ℂ)
68	17, 19	mulcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝐾) ∈ ℂ)
69	67, 68	subcld 10392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) ∈ ℂ)
70	69	mulid1d 10057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1) = ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)))
71	66, 70	breqtrrd 4681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1))
72	13, 14, 45	ledivmuld 11925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1 ↔ ((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) ≤ (((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾)) · 1)))
73	71, 72	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1)
74		1re 10039	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
75	7, 74	elicc2i 12239	. . . 4 ⊢ ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ↔ ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∧ (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ≤ 1))
76	28, 57, 73, 75	syl3anbrc 1246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1))
77		ttgcontlem1.h	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂVec)
78	77	cvsclm 22926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂMod)
79		ttgbtwnid.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑅)
80	79, 2	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
81		0elunit 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
82		iccss2 12244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ (0[,]1) ∧ 𝐿 ∈ (0[,]1)) → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
83	81, 2, 82	sylancr 695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ (0[,]1))
84	83, 79	sstrd 3613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]𝐿) ⊆ 𝑅)
85	84, 10	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑅)
86		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝐻) = (Scalar‘𝐻)
87		ttgbtwnid.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Base‘(Scalar‘𝐻))
88	86, 87	clmsubcl 22886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅) → (𝐿 − 𝑀) ∈ 𝑅)
89	78, 80, 85, 88	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑀) ∈ 𝑅)
90	86, 87	cvsdivcl 22933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
91	77, 89, 85, 22, 90	syl13anc 1328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅)
92	79, 4	sseldd 3604	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑅)
93		1elunit 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
94	93	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
95	79, 94	sseldd 3604	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝑅)
96	86, 87	clmsubcl 22886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
97	78, 95, 92, 96	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) ∈ 𝑅)
98	86, 87	cvsdivcl 22933	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂVec ∧ (𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ≠ 0)) → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
99	77, 92, 97, 25, 98	syl13anc 1328	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅)
100		clmgrp 22868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ Grp)
101	78, 100	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Grp)
102		ttgelitv.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
103		ttgelitv.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
104		ttgitvval.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐻)
105		ttgitvval.m	. . . . . . 7 ⊢ − = (-g‘𝐻)
106	104, 105	grpsubcl 17495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑃)
107	101, 102, 103, 106	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑃)
108		ttgitvval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐻)
109	104, 86, 108, 87	clmvsass 22889	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝐾 / (1 − 𝐾)) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 − 𝑋) ∈ 𝑃)) → ((((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)) = (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋))))
110	78, 91, 99, 107, 109	syl13anc 1328	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)) = (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋))))
111	46	recnd 10068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℂ)
112	111, 17, 19, 21, 22, 25	divmuldivd 10842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿 − 𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))))
113	55, 20	oveq12d 6668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 𝑀) · 𝐾) / (𝑀 · (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
114	112, 113	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))))
115	114	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝐾 / (1 − 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)))
116		ttgcontlem1.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
117	104, 105	grpsubcl 17495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) → (𝑋 − 𝐴) ∈ 𝑃)
118	101, 103, 116, 117	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ 𝑃)
119		ttgcontlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝐾 · (𝑌 − 𝐴)))
120	119	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑋 − 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
121	19, 21	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (1 − 𝐾)) = ((1 − 𝐾) · 𝐾))
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝐴)) = (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)))
123	104, 105	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) → (𝑌 − 𝐴) ∈ 𝑃)
124	101, 102, 116, 123	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) ∈ 𝑃)
125	104, 86, 108, 87	clmvsass 22889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 − 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴))))
126	78, 92, 97, 124, 125	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 · (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝐴)) = (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴))))
127	104, 86, 108, 87	clmvsass 22889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((1 − 𝐾) ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅 ∧ (𝑌 − 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
128	78, 97, 92, 124, 127	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((1 − 𝐾) · 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
129	122, 126, 128	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴))) = ((1 − 𝐾) · (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
130		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-g‘(Scalar‘𝐻)) = (-g‘(Scalar‘𝐻))
131		clmlmod 22867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∈ ℂMod → 𝐻 ∈ LMod)
132	78, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ LMod)
133	104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 95, 92, 124	lmodsubdir 18921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = ((1 · (𝑌 − 𝐴)) − (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
134	86, 87	clmsub 22880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 1 ∈ 𝑅 ∧ 𝐾 ∈ 𝑅) → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
135	78, 95, 92, 134	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐾) = (1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾))
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = ((1(-g‘(Scalar‘𝐻))𝐾) · (𝑌 − 𝐴)))
137	104, 108	clmvs1 22893	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑌 − 𝐴) ∈ 𝑃) → (1 · (𝑌 − 𝐴)) = (𝑌 − 𝐴))
138	78, 124, 137	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝑌 − 𝐴)) = (𝑌 − 𝐴))
139	138	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝐴) = (1 · (𝑌 − 𝐴)))
140	139, 119	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = ((1 · (𝑌 − 𝐴)) − (𝐾 · (𝑌 − 𝐴))))
141	133, 136, 140	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = ((𝑌 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)))
142	104, 105	grpnnncan2 17512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃)) → ((𝑌 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = (𝑌 − 𝑋))
143	101, 102, 103, 116, 142	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = (𝑌 − 𝑋))
144	141, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴)) = (𝑌 − 𝑋))
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · ((1 − 𝐾) · (𝑌 − 𝐴))) = (𝐾 · (𝑌 − 𝑋)))
146	120, 129, 145	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐾 · (𝑌 − 𝑋)) = ((1 − 𝐾) · (𝑋 − 𝐴)))
147	104, 108, 86, 87, 77, 92, 97, 107, 118, 59, 146	cvsmuleqdivd 22934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) = (((1 − 𝐾) / 𝐾) · (𝑋 − 𝐴)))
148	104, 108, 86, 87, 77, 97, 92, 107, 118, 25, 59, 147	cvsdiveqd 22935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋)) = (𝑋 − 𝐴))
149	148, 118	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋)) ∈ 𝑃)
150		ttgcontlem1.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))))
151		ttgcontlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑃)
152	104, 105	grpsubcl 17495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃) → (𝑁 − 𝐴) ∈ 𝑃)
153	101, 151, 116, 152	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝐴) ∈ 𝑃)
154	104, 86, 108, 87	lmodvscl 18880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐻 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 − 𝐴) ∈ 𝑃) → (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) ∈ 𝑃)
155	132, 80, 153, 154	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) ∈ 𝑃)
156		ttgitvval.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝐻)
157	104, 156	grpcl 17430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) ∈ 𝑃) → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))) ∈ 𝑃)
158	101, 116, 155, 157	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))) ∈ 𝑃)
159	150, 158	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
160	104, 105	grpsubcl 17495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝐵 − 𝑋) ∈ 𝑃)
161	101, 159, 103, 160	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ 𝑃)
162		ttgcontlem1.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≠ 𝑀)
163	54, 17, 162	subne0d 10401	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑀) ≠ 0)
164		ttgcontlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) = (𝑀 · (𝑁 − 𝐴)))
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) · (𝑋 − 𝐴)) = ((𝐿 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
166	17, 111	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝐿 − 𝑀)) = ((𝐿 − 𝑀) · 𝑀))
167	166	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿 − 𝑀)) · (𝑁 − 𝐴)) = (((𝐿 − 𝑀) · 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)))
168	104, 86, 108, 87	clmvsass 22889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ (𝑀 ∈ 𝑅 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 − 𝐴) ∈ 𝑃)) → ((𝑀 · (𝐿 − 𝑀)) · (𝑁 − 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴))))
169	78, 85, 89, 153, 168	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · (𝐿 − 𝑀)) · (𝑁 − 𝐴)) = (𝑀 · ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴))))
170	104, 86, 108, 87	clmvsass 22889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ ((𝐿 − 𝑀) ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅 ∧ (𝑁 − 𝐴) ∈ 𝑃)) → (((𝐿 − 𝑀) · 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐿 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
171	78, 89, 85, 153, 170	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 𝑀) · 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐿 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
172	167, 169, 171	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴))) = ((𝐿 − 𝑀) · (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
173	104, 108, 86, 87, 105, 130, 132, 80, 85, 153	lmodsubdir 18921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) − (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
174	86, 87	clmsub 22880	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐻 ∈ ℂMod ∧ 𝐿 ∈ 𝑅 ∧ 𝑀 ∈ 𝑅) → (𝐿 − 𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
175	78, 80, 85, 174	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐿 − 𝑀) = (𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀))
176	175	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐿(-g‘(Scalar‘𝐻))𝑀) · (𝑁 − 𝐴)))
177	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))) − 𝐴))
178		lmodabl 18910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ LMod → 𝐻 ∈ Abel)
179	132, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ Abel)
180	104, 156, 105	ablpncan2 18221	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐻 ∈ Abel ∧ 𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) ∈ 𝑃) → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)))
181	179, 116, 155, 180	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝐿 · (𝑁 − 𝐴))) − 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)))
182	177, 181	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐿 · (𝑁 − 𝐴)))
183	182, 164	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = ((𝐿 · (𝑁 − 𝐴)) − (𝑀 · (𝑁 − 𝐴))))
184	173, 176, 183	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)))
185	104, 105	grpnnncan2 17512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ (𝐵 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝐴 ∈ 𝑃)) → ((𝐵 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝑋))
186	101, 159, 103, 116, 185	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) − (𝑋 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝑋))
187	184, 186	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝑋))
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · ((𝐿 − 𝑀) · (𝑁 − 𝐴))) = (𝑀 · (𝐵 − 𝑋)))
189	165, 172, 188	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝐵 − 𝑋)) = ((𝐿 − 𝑀) · (𝑋 − 𝐴)))
190	104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 161, 118, 22, 189	cvsmuleqdivd 22934	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) = (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · (𝑋 − 𝐴)))
191	104, 108, 86, 87, 77, 89, 85, 161, 118, 163, 22, 190	cvsdiveqd 22935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / (𝐿 − 𝑀)) · (𝐵 − 𝑋)) = (𝑋 − 𝐴))
192	148, 191	eqtr4d 2659	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋)) = ((𝑀 / (𝐿 − 𝑀)) · (𝐵 − 𝑋)))
193	104, 108, 86, 87, 77, 85, 89, 149, 161, 22, 163, 192	cvsdiveqd 22935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐿 − 𝑀) / 𝑀) · ((𝐾 / (1 − 𝐾)) · (𝑌 − 𝑋))) = (𝐵 − 𝑋))
194	110, 115, 193	3eqtr3rd 2665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)))
195		oveq1 6657	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋)))
196	195	eqeq2d 2632	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) → ((𝐵 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)) ↔ (𝐵 − 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋))))
197	196	rspcev 3309	. . 3 ⊢ (((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) ∈ (0[,]1) ∧ (𝐵 − 𝑋) = ((((𝐿 · 𝐾) − (𝑀 · 𝐾)) / ((𝑀 · 1) − (𝑀 · 𝐾))) · (𝑌 − 𝑋))) → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))
198	76, 194, 197	syl2anc 693	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋)))
199		ttgval.n	. . 3 ⊢ 𝐺 = (toTG‘𝐻)
200		ttgitvval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
201	199, 200, 104, 105, 108, 103, 102, 77, 159	ttgelitv 25763	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ∃𝑘 ∈ (0[,]1)(𝐵 − 𝑋) = (𝑘 · (𝑌 − 𝑋))))
202	198, 201	mpbird 247	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℝ⁺crp 11832  [,]cicc 12178  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  Grpcgrp 17422  -_gcsg 17424  Abelcabl 18194  LModclmod 18863  ℂModcclm 22862  ℂVecccvs 22923  Itvcitv 25335  toTGcttg 25753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lvec 19103  df-cnfld 19747  df-clm 22863  df-cvs 22924  df-itv 25337  df-lng 25338  df-ttg 25754

This theorem is referenced by: (None)