Theorem fourierdlem44 40368

Description: A condition for having (sin‘(𝐴 / 2)) non zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem44	⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem44

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10086	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ*)
3		2re 11090	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
4		pire 24210	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
5	3, 4	remulcli 10054	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
6	5	rexri 10097	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ*)
8	4	renegcli 10342	. . . . . . . 8 ⊢ -π ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ)
10	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ)
11		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
12		eliccre 39728	. . . . . . 7 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15		simpr 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
16	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℝ)
17	9	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ∈ ℝ*)
18	10	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π ∈ ℝ*)
19		iccleub 12229	. . . . . . . 8 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
20	17, 18, 11, 19	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ≤ π)
21		pirp 24213	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℝ+
22		2timesgt 39500	. . . . . . . . 9 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ π < (2 · π)
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → π < (2 · π))
25	13, 10, 16, 20, 24	lelttrd 10195	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 < (2 · π))
26	25	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
27	2, 7, 14, 15, 26	eliood 39720	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
28	27	adantlr 751	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
29		sinaover2ne0 40079	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
30	28, 29	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
31		simpll 790	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
32	31, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33		0red 10041	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
34		simplr 792	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
35		simpr 477	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
36	32, 33, 34, 35	lttri5d 39513	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
37	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
39		sinneg 14876	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = -(sin‘(𝐴 / 2)))
41		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ∈ ℂ)
42		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → 2 ≠ 0)
44	37, 41, 43	divnegd 10814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(𝐴 / 2) = (-𝐴 / 2))
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘-(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
46	40, 45	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(-𝐴 / 2)))
48	1	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
49	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ*)
50	13	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -𝐴 ∈ ℝ)
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
52		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
53	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
54	53	lt0neg1d 10597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
55	52, 54	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
56	5	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) ∈ ℝ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) ∈ ℝ)
58	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ∈ ℝ)
59	4, 5	ltnegi 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (π < (2 · π) ↔ -(2 · π) < -π)
60	23, 59	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -(2 · π) < -π
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < -π)
62		iccgelb 12230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
63	17, 18, 11, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → -π ≤ 𝐴)
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -π ≤ 𝐴)
65	57, 58, 53, 61, 64	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(2 · π) < 𝐴)
66	57, 53	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (-(2 · π) < 𝐴 ↔ -𝐴 < --(2 · π)))
67	65, 66	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < --(2 · π))
68	16	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (2 · π) ∈ ℂ)
69	68	negnegd 10383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → --(2 · π) = (2 · π))
70	69	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → --(2 · π) = (2 · π))
71	67, 70	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
72	48, 49, 51, 55, 71	eliood 39720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)))
73		sinaover2ne0 40079	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0(,)(2 · π)) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
74	72, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(-𝐴 / 2)) ≠ 0)
75	47, 74	eqnetrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → -(sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
76	75	neneqd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
77	38	sincld 14860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-π[,]π) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
78	77	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
79	78	negeq0d 10384	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ((sin‘(𝐴 / 2)) = 0 ↔ -(sin‘(𝐴 / 2)) = 0))
80	76, 79	mtbird 315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (sin‘(𝐴 / 2)) = 0)
81	80	neqned 2801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 < 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
82	31, 36, 81	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
83	30, 82	pm2.61dan 832	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  -cneg 10267   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,]cicc 12178  sincsin 14794  πcpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem56  40379  fourierdlem57  40380  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem66  40389  fourierdlem68  40391  fourierdlem72  40395  fourierdlem76  40399  fourierdlem78  40401  fourierdlem80  40403  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427