Theorem lnfn0i 28901

Description: The value of a linear Hilbert space functional at zero is zero. Remark in [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
lnfnl.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn

Assertion

Ref	Expression
lnfn0i	⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Proof of Theorem lnfn0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		lnfnl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
3	2	lnfnfi 28900	. . . . 5 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
4	3	ffvelrni 6358	. . . 4 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑇‘0ℎ) ∈ ℂ
6	5, 5	pncan3oi 10297	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
7		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
8	2	lnfnli 28899	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 0ℎ ∈ ℋ) → (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)))
9	7, 1, 1, 8	mp3an 1424	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ))
10	7, 1	hvmulcli 27871	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ
11		ax-hvaddid 27861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) ∈ ℋ → ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ))
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = (1 ·ℎ 0ℎ)
13		ax-hvmulid 27863	. . . . . . . . 9 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ
15	12, 14	eqtri 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
16	15	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (𝑇‘((1 ·ℎ 0ℎ) +ℎ 0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
17	9, 16	eqtr3i 2646	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
18	5	mulid2i 10043	. . . . . 6 ⊢ (1 · (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘0ℎ)
19	18	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ ((1 · (𝑇‘0ℎ)) + (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
20	17, 19	eqtr3i 2646	. . . 4 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = ((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ))
21	20	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ))
22	5	subidi 10352	. . 3 ⊢ ((𝑇‘0ℎ) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
23	21, 22	eqtr3i 2646	. 2 ⊢ (((𝑇‘0ℎ) + (𝑇‘0ℎ)) − (𝑇‘0ℎ)) = 0
24	6, 23	eqtr3i 2646	1 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0

Syntax hints:   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ℎ csm 27778  0_ℎc0v 27781  LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hilex 27856  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  lnfnmuli  28903  lnfn0  28906  nmbdfnlbi  28908  nmcfnexi  28910  nmcfnlbi  28911  nlelshi  28919