Theorem nmcfnexi 28910

Description: The norm of a continuous linear Hilbert space functional exists. Theorem 3.5(i) of [Beran] p. 99. (Contributed by NM, 14-Feb-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmcfnex.1	⊢ 𝑇 ∈ LinFn
nmcfnex.2	⊢ 𝑇 ∈ ContFn

Assertion

Ref	Expression
nmcfnexi	⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Proof of Theorem nmcfnexi

Dummy variables 𝑥 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmcfnex.2	. . . 4 ⊢ 𝑇 ∈ ContFn
2		ax-hv0cl 27860	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3		1rp 11836	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		cnfnc 28789	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ ContFn ∧ 0ℎ ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1))
5	1, 2, 3, 4	mp3an 1424	. . 3 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1)
6		hvsub0 27933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑧 −ℎ 0ℎ) = 𝑧)
7	6	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝑧))
8	7	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 ↔ (normℎ‘𝑧) < 𝑦))
9		nmcfnex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ LinFn
10	9	lnfn0i 28901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇‘0ℎ) = 0
11	10	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = ((𝑇‘𝑧) − 0)
12	9	lnfnfi 28900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ℂ
13	12	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑧) ∈ ℂ)
14	13	subid1d 10381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − 0) = (𝑇‘𝑧))
15	11, 14	syl5eq 2668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ)) = (𝑇‘𝑧))
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) = (abs‘(𝑇‘𝑧)))
17	16	breq1d 4663	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1 ↔ (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
18	8, 17	imbi12d 334	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)))
19	18	ralbiia 2979	. . . 4 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
20	19	rexbii 3041	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘(𝑧 −ℎ 0ℎ)) < 𝑦 → (abs‘((𝑇‘𝑧) − (𝑇‘0ℎ))) < 1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1))
21	5, 20	mpbi 220	. 2 ⊢ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑧) < 𝑦 → (abs‘(𝑇‘𝑧)) < 1)
22		nmfnval 28735	. . 3 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ℂ → (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < ))
23	12, 22	ax-mp 5	. 2 ⊢ (normfn‘𝑇) = sup({𝑚 ∣ ∃𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 ∧ 𝑚 = (abs‘(𝑇‘𝑥)))}, ℝ*, < )
24	12	ffvelrni 6358	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ)
25	24	abscld 14175	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (abs‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
26	10	fveq2i 6194	. . 3 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = (abs‘0)
27		abs0 14025	. . 3 ⊢ (abs‘0) = 0
28	26, 27	eqtri 2644	. 2 ⊢ (abs‘(𝑇‘0ℎ)) = 0
29		rpcn 11841	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
30	9	lnfnmuli 28903	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
31	29, 30	sylan 488	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥)) = ((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥)))
32	31	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))) = (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))))
33		absmul 14034	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
34	29, 24, 33	syl2an 494	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘((𝑦 / 2) · (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
35		rpre 11839	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
36		rpge0 11845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (𝑦 / 2))
37	35, 36	absidd 14161	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
38	37	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(𝑦 / 2)) = (𝑦 / 2))
39	38	oveq1d 6665	. . 3 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(𝑦 / 2)) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))))
40	32, 34, 39	3eqtrrd 2661	. 2 ⊢ (((𝑦 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑦 / 2) · (abs‘(𝑇‘𝑥))) = (abs‘(𝑇‘((𝑦 / 2) ·ℎ 𝑥))))
41	21, 23, 25, 28, 40	nmcexi 28885	1 ⊢ (normfn‘𝑇) ∈ ℝ

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  {cab 2608  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   class class class wbr 4653  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  supcsup 8346  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  2c2 11070  ℝ⁺crp 11832  abscabs 13974   ℋchil 27776   ·_ℎ csm 27778  norm_ℎcno 27780  0_ℎc0v 27781   −_ℎ cmv 27782  norm_fncnmf 27808  ContFnccnfn 27810  LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-hnorm 27825  df-hvsub 27828  df-nmfn 28704  df-cnfn 28706  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  nmcfnlbi  28911  nmcfnex  28912