Theorem ltpnfd 11955

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 11954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  +∞cpnf 10071   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-pnf 10076  df-xr 10078  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  limsupgre  14212  fprodge1  14726  mbflimsup  23433  absfico  39410  supxrge  39554  infxr  39583  infleinflem2  39587  xrralrecnnge  39613  iocopn  39746  ge0lere  39759  ressiooinf  39784  uzinico  39787  uzubioo  39794  fsumge0cl  39805  limcicciooub  39869  limcresiooub  39874  limcleqr  39876  limsupresico  39932  limsupmnflem  39952  liminfresico  40003  limsup10exlem  40004  xlimpnfvlem1  40062  icccncfext  40100  fourierdlem31  40355  fourierdlem33  40357  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem75  40398  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem95  40418  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem107  40430  fourierdlem109  40432  fourierdlem112  40435  fouriersw  40448  ioorrnopnxrlem  40526  sge0tsms  40597  sge0isum  40644  sge0ad2en  40648  sge0xaddlem2  40651  voliunsge0lem  40689  meassre  40694  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  hoiprodcl  40761  ovnsubaddlem1  40784  hoiprodcl3  40794  hoidmvcl  40796  sge0hsphoire  40803  hoidmv1lelem1  40805  hoidmv1lelem2  40806  hoidmv1lelem3  40807  hoidmv1le  40808  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem4  40812  volicorege0  40851  ovolval5lem1  40866  pimgtpnf2  40917