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Theorem limsupgre 14212

Description: If a sequence of real numbers has upper bounded limit supremum, then all the partial suprema are real. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 12-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
limsupval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
limsupgre.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
limsupgre	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Distinct variable groups: 𝑘,𝐹 𝑘,𝑀 𝑘,𝑍 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑘)

Proof of Theorem limsupgre Dummy variables 𝑎 𝑖 𝑚 𝑛 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrltso 11974	. . . 4 ⊢ < Or ℝ^*
2	1	supex 8369	. . 3 ⊢ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ V)
4		limsupval.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < )))
6	4	limsupgval 14207	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) = sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ))
8		simpl3 1066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (lim sup‘𝐹) < +∞)
9		limsupgre.z	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
10		uzssz 11707	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘𝑀) ⊆ ℤ
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
12		zssre 11384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
13	11, 12	sstri 3612	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 ⊆ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑍 ⊆ ℝ)
15		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
16		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℝ^*
17		fss 6056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ^) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^)
18	15, 16, 17	sylancl 694	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
19		pnfxr 10092	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
20	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ^*)
21	4	limsuplt 14210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
22	14, 18, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((lim sup‘𝐹) < +∞ ↔ ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞))
23	8, 22	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℝ (𝐺‘𝑛) < +∞)
24		fzfi 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin
25	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
26		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
27	26, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → 𝑚 ∈ 𝑍)
28		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ 𝑚 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
29	25, 27, 28	syl2an 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))) → (𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
30	29	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ)
31		fimaxre3 10970	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀...(⌊‘𝑛)) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
32	24, 30, 31	sylancr 695	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
33		simpr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑎 ∈ ℝ)
35	4	limsupgf 14206	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺:ℝ⟶ℝ^*
36	35	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ^*)
38		simprl 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
39	16, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
40		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → 𝑛 ∈ ℝ)
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	35	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
44	39, 43	ifcld 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
45	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → +∞ ∈ ℝ^*)
46	40	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℝ)
47	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑍 ⊆ ℝ)
48	47	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℝ)
49		xrleid 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛))
50	43, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛))
51	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ^*)
52	4	limsupgle 14208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
53	47, 51, 41, 43, 52	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑛) ≤ (𝐺‘𝑛) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))))
54	50, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
55	54	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑛 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛)))
56	55	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛))
57	46, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^*)
58	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ∈ ℝ^*)
59		xrmax1 12006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
60	57, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
61	51	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^*)
62	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*)
63		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ (𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
64	61, 57, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) ∧ (𝐺‘𝑛) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
65	60, 64	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → ((𝐹‘𝑖) ≤ (𝐺‘𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
67	56, 66	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑛 ≤ 𝑖) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
68		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ 𝑍)
69	68, 9	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
70	41	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (⌊‘𝑛) ∈ ℤ)
72		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ∧ (⌊‘𝑛) ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
73	69, 71, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
74	11, 68	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑖 ∈ ℤ)
75		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
76	46, 74, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ≤ 𝑛 ↔ 𝑖 ≤ (⌊‘𝑛)))
77	73, 76	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) ↔ 𝑖 ≤ 𝑛))
78	77	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → 𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)))
79		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
80	79	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)
81		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝐹‘𝑚) = (𝐹‘𝑖))
82	81	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟 ↔ (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟))
83	82	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛)) → (∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟))
84	78, 80, 83	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟)
85		xrmax2 12007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐺‘𝑛) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^*) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
86	43, 39, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
88		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ^* ∧ 𝑟 ∈ ℝ^* ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^*) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
89	61, 58, 62, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 ∧ 𝑟 ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
90	87, 89	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → ((𝐹‘𝑖) ≤ 𝑟 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
92	84, 91	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) ∧ 𝑖 ≤ 𝑛) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
93	46, 48, 67, 92	lecasei 10143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
94	93	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
95	94	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛))))
96	4	limsupgle 14208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑍 ⊆ ℝ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ^) ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ∈ ℝ^) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
97	47, 51, 34, 44, 96	syl211anc 1332	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → ((𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑍 (𝑎 ≤ 𝑖 → (𝐹‘𝑖) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))))
98	95, 97	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) ≤ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)))
99	38	ltpnfd 11955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → 𝑟 < +∞)
100		simplrr 801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑛) < +∞)
101		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → (𝑟 < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
102		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺‘𝑛) = if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) → ((𝐺‘𝑛) < +∞ ↔ if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞))
103	101, 102	ifboth 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 < +∞ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
104	99, 100, 103	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → if((𝐺‘𝑛) ≤ 𝑟, 𝑟, (𝐺‘𝑛)) < +∞)
105	37, 44, 45, 98, 104	xrlelttrd 11991	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑚 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑛))(𝐹‘𝑚) ≤ 𝑟)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
106	32, 105	rexlimddv 3035	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑛) < +∞)) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
107	23, 106	rexlimddv 3035	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) < +∞)
108	7, 107	eqbrtrrd 4677	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞)
109		imassrn 5477	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ran 𝐹
110		frn 6053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
111	15, 110	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
112	109, 111	syl5ss 3614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ)
113	112, 16	syl6ss 3615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^*)
114		df-ss 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ⊆ ℝ^* ↔ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
115	113, 114	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) = (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)))
116	115, 112	eqsstrd 3639	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ⊆ ℝ)
117		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
118		flcl 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
119	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (⌊‘𝑎) ∈ ℤ)
120	119	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℤ)
121	120, 117	ifcld 4131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
122	117	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
123	120	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ)
124		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
125	122, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
126		eluz2 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀)))
127	117, 121, 125, 126	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
128	127, 9	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ 𝑍)
129		fdm 6051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:𝑍⟶ℝ → dom 𝐹 = 𝑍)
130	15, 129	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝑍)
131	128, 130	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹)
132	121	zred 11482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ)
133		fllep1 12602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
134	133	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1))
135		max2 12018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘𝑎) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
136	122, 123, 135	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑎) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
137	33, 123, 132, 134, 136	letrd 10194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))
138		elicopnf 12269	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
139	138	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞) ↔ (if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀))))
140	132, 137, 139	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞))
141		inelcm 4032	. . . . . . . 8 ⊢ ((if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ dom 𝐹 ∧ if(𝑀 ≤ ((⌊‘𝑎) + 1), ((⌊‘𝑎) + 1), 𝑀) ∈ (𝑎[,)+∞)) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
142	131, 140, 141	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
143		imadisj 5484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) = ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) = ∅)
144	143	necon3bii 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅ ↔ (dom 𝐹 ∩ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
145	142, 144	sylibr 224	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ≠ ∅)
146	115, 145	eqnetrd 2861	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^*) ≠ ∅)
147		supxrre1 12160	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ⊆ ℝ ∧ ((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^) ≠ ∅) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
148	116, 146, 147	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ ↔ sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) < +∞))
149	108, 148	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → sup(((𝐹 “ (𝑎[,)+∞)) ∩ ℝ^), ℝ^, < ) ∈ ℝ)
150	7, 149	eqeltrd 2701	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑎) ∈ ℝ)
151	3, 5, 150	fmpt2d 6393	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍⟶ℝ ∧ (lim sup‘𝐹) < +∞) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 Vcvv 3200 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 ifcif 4086 class class class wbr 4653 ↦ cmpt 4729 dom cdm 5114 ran crn 5115 “ cima 5117 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 Fincfn 7955 supcsup 8346 ℝcr 9935 1c1 9937 + caddc 9939 +∞cpnf 10071 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 ℤcz 11377 ℤ_≥cuz 11687 [,)cico 12177 ...cfz 12326 ⌊cfl 12591 lim supclsp 14201

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fl 12593 df-limsup 14202

This theorem is referenced by: mbflimsup 23433

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