Theorem hoiprodcl 40761

Description: The pre-measure of half-open intervals is a nonnegative real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiprodcl.1	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
hoiprodcl.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiprodcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
hoiprodcl	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable group:   𝑘,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem hoiprodcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 10086	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
3		pnfxr 10092	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
5		hoiprodcl.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
6		hoiprodcl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
7		hoiprodcl.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐼:𝑋⟶(ℝ × ℝ))
9		simpr 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
10	8, 9	fvovco 39381	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) = ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))))
11	10	fveq2d 6195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))))
12	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ))
13		xp1st 7198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
15		xp2nd 7199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑘) ∈ (ℝ × ℝ) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
16	12, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ)
17		volico 40200	. . . . . . 7 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
18	14, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘)))) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
19	11, 18	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) = if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0))
20	16, 14	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ ℝ)
21		0red 10041	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ∈ ℝ)
22	20, 21	ifcld 4131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if((1st ‘(𝐼‘𝑘)) < (2nd ‘(𝐼‘𝑘)), ((2nd ‘(𝐼‘𝑘)) − (1st ‘(𝐼‘𝑘))), 0) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
24	5, 6, 23	fprodreclf 14689	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ)
25	24	rexrd 10089	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ ℝ*)
26	16	rexrd 10089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*)
27		icombl 23332	. . . . . 6 ⊢ (((1st ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ ∧ (2nd ‘(𝐼‘𝑘)) ∈ ℝ*) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
28	14, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((1st ‘(𝐼‘𝑘))[,)(2nd ‘(𝐼‘𝑘))) ∈ dom vol)
29	10, 28	eqeltrd 2701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol)
30		volge0 40177	. . . 4 ⊢ ((([,) ∘ 𝐼)‘𝑘) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
31	29, 30	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
32	5, 6, 23, 31	fprodge0 14724	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)))
33	24	ltpnfd 11955	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) < +∞)
34	2, 4, 25, 32, 33	elicod 12224	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ 𝐼)‘𝑘)) ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ifcif 4086   class class class wbr 4653   × cxp 5112  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  1^st c1st 7166  2^nd c2nd 7167  Fincfn 7955  ℝcr 9935  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  [,)cico 12177  ∏cprod 14635  volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  ovnprodcl  40768  hoiprodcl2  40769  ovnhoilem1  40815