Theorem modprm1div 15502

Description: A prime number divides an integer minus 1 iff the integer modulo the prime number is 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprm1div	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))

Proof of Theorem modprm1div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2	1	nnred 11035	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
3		prmgt1 15409	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
4		1mod 12702	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
5	4	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → 1 = (1 mod 𝑃))
6	2, 3, 5	syl2anc 693	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 = (1 mod 𝑃))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 = (1 mod 𝑃))
8	7	eqeq2d 2632	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ (𝐴 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
9	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		simpr 477	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
11		1zzd 11408	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℤ)
12		moddvds 14991	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1326	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))
14	8, 13	bitrd 268	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑃) = 1 ↔ 𝑃 ∥ (𝐴 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℤcz 11377   mod cmo 12668   ∥ cdvds 14983  ℙcprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  m1dvdsndvds  15503  modprminv  15504  modprminveq  15505  powm2modprm  15508  numclwwlk5lem  27245  odz2prm2pw  41475  fmtnoprmfac2  41479