Theorem nmeq0 22422

Description: The identity is the only element of the group with zero norm. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmf.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmf.n	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
nmeq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmeq0	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Proof of Theorem nmeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmf.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		nmf.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		nmeq0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	nmval 22394	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
6	5	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁‘𝐴) = (𝐴(dist‘𝐺) 0 ))
7	6	eqeq1d 2624	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ (𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0))
8		ngpgrp 22403	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
10	2, 3	grpidcl 17450	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝑋)
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 0 ∈ 𝑋)
12		ngpxms 22405	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ ∞MetSp)
13	2, 4	xmseq0 22269	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
14	12, 13	syl3an1 1359	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
15	11, 14	mpd3an3 1425	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐴(dist‘𝐺) 0 ) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))
16	7, 15	bitrd 268	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑁‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  Basecbs 15857  distcds 15950  0_gc0g 16100  Grpcgrp 17422  ∞MetSpcxme 22122  normcnm 22381  NrmGrpcngp 22382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388

This theorem is referenced by:  nmne0  22423  ngpi  22432  nm0  22433  nmgt0  22434  tngngp  22458  tngngp3  22460  nlmmul0or  22487  nmoeq0  22540  ncvs1  22957