Theorem normpyth 28002

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpyth	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵))
2	1	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0))
3		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))
4	3	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
5	4	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2))
6		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
7	6	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
8	7	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
9	5, 8	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
10	2, 9	imbi12d 334	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))))
11		oveq2 6658	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
12	11	eqeq1d 2624	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0))
13		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	13	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
15	14	oveq1d 6665	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
16		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
17	16	oveq1d 6665	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))
18	17	oveq2d 6666	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
19	15, 18	eqeq12d 2637	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))))
20	12, 19	imbi12d 334	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))))
21		ifhvhv0 27879	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
22		ifhvhv0 27879	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
23	21, 22	normpythi 27999	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
24	10, 20, 23	dedth2h 4140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ifcif 4086  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936   + caddc 9939  2c2 11070  ↑cexp 12860   ℋchil 27776   +_ℎ cva 27777   ·_ih csp 27779  norm_ℎcno 27780  0_ℎc0v 27781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-hnorm 27825

This theorem is referenced by:  normpyc  28003  chscllem2  28497  hstnmoc  29082  hstpyth  29088