Theorem nvmul0or 27505

Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvmul0or.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmul0or.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
nvmul0or.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvmul0or	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2795	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2		oveq2 6658	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
3	2	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4		recid2 10700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
5	4	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
6	5	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
7		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
8		reccl 10692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
9	8	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		simpl3 1066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ 𝑋)
12		nvmul0or.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13		nvmul0or.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
14	12, 13	nvsass 27483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
15	7, 9, 10, 11, 14	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
16	12, 13	nvsid 27482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
17	16	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
19	6, 15, 18	3eqtr3d 2664	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
20	19	adantlr 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
21		nvmul0or.6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
22	13, 21	nvsz 27493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
23	8, 22	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
24	23	anassrs 680	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25	24	3adantl3 1219	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
26	25	adantlr 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
27	3, 20, 26	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 𝑍)
28	27	ex 450	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 𝑍))
29	1, 28	syl5bir 233	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 𝑍))
30	29	orrd 393	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍))
31	30	ex 450	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
32	12, 13, 21	nv0 27492	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (0𝑆𝐵) = 𝑍)
33		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = (0𝑆𝐵))
34	33	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐵) = 𝑍))
35	32, 34	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
36	35	3adant2 1080	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
37	13, 21	nvsz 27493	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38		oveq2 6658	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴𝑆𝑍))
39	38	eqeq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝑍 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
40	37, 39	syl5ibrcom 237	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
41	40	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
42	36, 41	jaod 395	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍) → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
43	31, 42	impbid 202	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   · cmul 9941   / cdiv 10684  NrmCVeccnv 27439  BaseSetcba 27441   ·_𝑠OLD cns 27442  0_veccn0v 27443

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nmlno0lem  27648