Theorem on0eln0 5780

Description: An ordinal number contains zero iff it is nonzero. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
on0eln0	⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem on0eln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eloni 5733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
2		ord0eln0 5779	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∅c0 3915  Ord word 5722  Oncon0 5723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727

This theorem is referenced by:  ondif1  7581  oe0lem  7593  oevn0  7595  oa00  7639  omord  7648  om00  7655  om00el  7656  omeulem1  7662  omeulem2  7663  oewordri  7672  oeordsuc  7674  oelim2  7675  oeoa  7677  oeoe  7679  oeeui  7682  omabs  7727  omxpenlem  8061  cantnff  8571  cantnfp1lem2  8576  cantnfp1lem3  8577  cantnfp1  8578  cantnflem1d  8585  cantnflem1  8586  cantnflem3  8588  cantnflem4  8589  cantnf  8590  cnfcomlem  8596  cnfcom3  8601  r1tskina  9604  onsucconni  32436  onint1  32448  frlmpwfi  37668