Theorem opprringb 18632

Description: Bidirectional form of opprring 18631. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprringb	⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Proof of Theorem opprringb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2	1	opprring 18631	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
3		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑂) = (oppr‘𝑂)
4	3	opprring 18631	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → (oppr‘𝑂) ∈ Ring)
5		eqidd 2623	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	1, 6	opprbas 18629	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	3, 7	opprbas 18629	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂))
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑂)))
10		eqid 2622	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11	1, 10	oppradd 18630	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
12	3, 11	oppradd 18630	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘(oppr‘𝑂))
13	12	oveqi 6663	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦)
14	13	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(+g‘𝑅)𝑦) = (𝑥(+g‘(oppr‘𝑂))𝑦))
15		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑂) = (.r‘𝑂)
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘(oppr‘𝑂)) = (.r‘(oppr‘𝑂))
17	7, 15, 3, 16	opprmul 18626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦) = (𝑦(.r‘𝑂)𝑥)
18		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
19	6, 18, 1, 15	opprmul 18626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦(.r‘𝑂)𝑥) = (𝑥(.r‘𝑅)𝑦)
20	17, 19	eqtr2i 2645	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (𝑥(.r‘(oppr‘𝑂))𝑦))
22	5, 9, 14, 21	ringpropd 18582	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Ring))
23	22	trud 1493	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (oppr‘𝑂) ∈ Ring)
24	4, 23	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Ring)
25	2, 24	impbii 199	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ 𝑂 ∈ Ring)

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ⊤wtru 1484   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Ringcrg 18547  opp_rcoppr 18622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623

This theorem is referenced by:  opprdrng  18771  opprsubrg  18801  rhmopp  29819