Theorem pell1234qrmulcl 37419

Description: General solutions of the Pell equation are closed under multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pell1234qrmulcl	⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Proof of Theorem pell1234qrmulcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remulcl 10021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	ad5antlr 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
3		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
4	3	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℤ)
5		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℤ)
6	4, 5	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℤ)
7		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → 𝐷 ∈ ℕ)
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℕ)
9	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
10	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℤ)
11		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℤ)
12		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
13	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
14	11, 13	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℤ)
15	10, 14	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℤ)
16	6, 15	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ)
17	4, 11	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℤ)
18	5, 13	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℤ)
19	17, 18	zaddcld 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ)
20		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)))
22		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)))
23	21, 22	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
24		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑎 ∈ ℂ)
27	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
28	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝐷 ∈ ℂ)
29	28	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (√‘𝐷) ∈ ℂ)
30		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
31	30	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
32	31	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑏 ∈ ℂ)
33	29, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ)
34		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℂ)
36	35	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑐 ∈ ℂ)
37		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℂ)
39	38	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → 𝑑 ∈ ℂ)
40	29, 39	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ)
41	26, 33, 36, 40	muladdd 10489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
42	29, 39, 29, 32	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)))
43	28	msqsqrtd 14179	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) = 𝐷)
44	43	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · (√‘𝐷)) · (𝑑 · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
45	42, 44	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))
46	45	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))))
47	26, 29, 39	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) = ((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)))
48	36, 29, 32	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)) = ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏)))
49	47, 48	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
50	26, 39	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑑) ∈ ℂ)
51	36, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 · 𝑏) ∈ ℂ)
52	29, 50, 51	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) = (((√‘𝐷) · (𝑎 · 𝑑)) + ((√‘𝐷) · (𝑐 · 𝑏))))
53	49, 52	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏))) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
54	46, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) + ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
55	23, 41, 54	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
56	50, 51	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℂ)
57	29, 56	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
58	28	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷)↑2) = 𝐷)
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
60	57, 59	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)) = (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2))
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)))
62	26, 36	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 · 𝑐) ∈ ℂ)
63	39, 32	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑑 · 𝑏) ∈ ℂ)
64	28, 63	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)) ∈ ℂ)
65	62, 64	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ)
66	29, 56	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ)
67		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))) ∈ ℂ) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
68	65, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))↑2)) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
69	41, 54	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))))
70	26, 33, 36, 40	mulsubd 10490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))) = (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))))
71	46, 53	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (((√‘𝐷) · 𝑑) · ((√‘𝐷) · 𝑏))) − ((𝑎 · ((√‘𝐷) · 𝑑)) + (𝑐 · ((√‘𝐷) · 𝑏)))) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
72	70, 71	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) = ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
73	69, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) · (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) − ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
74	61, 68, 73	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
75	26, 33	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
76	36, 40	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
77	26, 33	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∈ ℂ)
78	36, 40	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∈ ℂ)
79	75, 76, 77, 78	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
80		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑏) ∈ ℂ) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
81	26, 33, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))))
82		subsq 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝐷) · 𝑑) ∈ ℂ) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
83	36, 40, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑))))
84	81, 83	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏))) · ((𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))))
85	29, 32	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)))
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) = ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))))
87	29, 39	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2) = (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2)) = ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))))
89	86, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑏)↑2)) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷) · 𝑑)↑2))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
90	79, 84, 89	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑))) · ((𝑎 − ((√‘𝐷) · 𝑏)) · (𝑐 − ((√‘𝐷) · 𝑑)))) = (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))))
91	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2)) = (𝐷 · (𝑏↑2)))
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) = ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))))
93	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)) = (𝐷 · (𝑑↑2)))
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2))) = ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))))
95	92, 94	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))))
96		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
97	96	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)
98		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)
99	97, 98	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2)))) = (1 · 1))
100		1t1e1 11175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 1) = 1
101	100	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (1 · 1) = 1)
102	95, 99, 101	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → (((𝑎↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑏↑2))) · ((𝑐↑2) − (((√‘𝐷)↑2) · (𝑑↑2)))) = 1)
103	74, 90, 102	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)
104		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)))
105	104	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓))))
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (𝑒↑2) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2))
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))))
108	107	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
109	105, 108	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) → (((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
110		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((√‘𝐷) · 𝑓) = ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))))
112	111	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ↔ (𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))))))
113		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝑓↑2) = (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (𝐷 · (𝑓↑2)) = (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2)))
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))))
116	115	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1 ↔ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1))
117	112, 116	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) → (((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1) ↔ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)))
118	109, 117	rspc2ev 3324	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) ∈ ℤ ∧ ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 · 𝐵) = (((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏))) + ((√‘𝐷) · ((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏)))) ∧ ((((𝑎 · 𝑐) + (𝐷 · (𝑑 · 𝑏)))↑2) − (𝐷 · (((𝑎 · 𝑑) + (𝑐 · 𝑏))↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
119	16, 19, 55, 103, 118	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))
120	2, 119	jca 554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) ∧ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))
121	120	ex 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
122	121	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
123	122	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
124	123	rexlimdvva 3038	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1)))))
125	124	impd 447	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
126	125	expimpd 629	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
127		elpell1234qr 37415	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1))))
128		elpell1234qr 37415	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
129	127, 128	anbi12d 747	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
130		an4 865	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1)) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1))))
131	129, 130	syl6bb 276	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 = (𝑎 + ((√‘𝐷) · 𝑏)) ∧ ((𝑎↑2) − (𝐷 · (𝑏↑2))) = 1) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ (𝐵 = (𝑐 + ((√‘𝐷) · 𝑑)) ∧ ((𝑐↑2) − (𝐷 · (𝑑↑2))) = 1)))))
132		elpell1234qr 37415	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ ∃𝑒 ∈ ℤ ∃𝑓 ∈ ℤ ((𝐴 · 𝐵) = (𝑒 + ((√‘𝐷) · 𝑓)) ∧ ((𝑒↑2) − (𝐷 · (𝑓↑2))) = 1))))
133	126, 131, 132	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷)))
134	133	3impib 1262	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ (Pell1234QR‘𝐷) ∧ 𝐵 ∈ (Pell1234QR‘𝐷)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ (Pell1234QR‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ∖ cdif 3571  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℤcz 11377  ↑cexp 12860  √csqrt 13973  ◻_NNcsquarenn 37400  Pell1234QRcpell1234qr 37402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-pell1234qr 37408

This theorem is referenced by:  pell14qrmulcl  37427