Theorem prlem936 9869

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prlem936	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9748	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5168	. . . 4 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → (1Q ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 479	. . 3 ⊢ (1Q <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
5		breq2 4657	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
6	5	anbi2d 740	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
8	7	eleq1d 2686	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
9	8	notbid 308	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
10	9	rexbidv 3052	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
11	6, 10	imbi12d 334	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12		prn0 9811	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ≠ ∅)
13		n0 3931	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐴)
16		elprnq 9813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
17	16	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ Q)
18		mulidnq 9785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20		simplr 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
22	21	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
23	17, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
24	19, 23	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
25	1	brel 5168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → (1Q ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
26	25	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1Q <Q 𝑏 → 𝑏 ∈ Q)
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏 ∈ Q)
28		mulclnq 9769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
29	17, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30		ltexnq 9797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
32	24, 31	mpbid 222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33		simplll 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴 ∈ P)
34		vex 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
35	34	prlem934 9855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
37	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
40	39	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
41	38, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
44	33, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ Q)
45		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46		addnqf 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
47	46	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
48		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
49	47, 48	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q))
50	49	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → 𝑧 ∈ Q)
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
52	33, 41, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧 ∈ Q)
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ Q)
54		addclnq 9767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
55	44, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56		prub 9816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
57	37, 42, 55, 56	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
58	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ Q)
59		mulclnq 9769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
60	44, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
61	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ Q)
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63		recclnq 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (*Q‘𝑦) ∈ Q)
64		mulclnq 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ (*Q‘𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
65	63, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q)
67		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
69		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦))
70		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
72	69, 71	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
73		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)) = 1Q)
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
76	74, 75	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑧)
77	72, 76	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
78	77	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
79	68, 78	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
80	79	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
81		mulnqf 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
82	81	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
83	82, 48	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑏 ∈ Q))
84	83	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
85		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
88		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑦 ∈ V
89		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) ∈ V
90		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91		distrnq 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
92	88, 34, 89, 90, 91	caovdir 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
93		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑥 ∈ V
94		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (*Q‘𝑦) ∈ V
95		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
96	88, 93, 94, 90, 95	caov12 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
97	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
99	84, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
100	97, 99	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
101	96, 100	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = 𝑥)
102		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)) = ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥)
103	102	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
104		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q‘𝑦) ·Q 𝑥))
105	103, 104	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))
107	101, 106	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
108	92, 107	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥)))
109	108	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥))))
110	87, 109	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q‘𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
112	80, 111	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
113	112	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦)))))
114		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117	115, 116	breq12i 4662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118	114, 117	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119	118	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))))
121		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑏 ∈ V
122	88, 121, 93, 90, 95, 94	caov411 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦)))
123	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125	123, 124	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126	122, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127	120, 126	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128	127	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129	128	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q‘𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130	113, 119, 129	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
131	60, 61, 53, 62, 130	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
132	57, 131	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133		prcdnq 9815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134	133	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135	134	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136	135	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
138	37, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139	132, 138	mpdd 43	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140	139	reximdva 3017	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
141	36, 140	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
142	32, 141	exlimddv 1863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143	142	expr 643	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145	144	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146	145	notbid 308	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147	146	rspcev 3309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148	147	ex 450	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149	148	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150	143, 149	pm2.61d 170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
151	15, 150	exlimddv 1863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
152	11, 151	vtoclg 3266	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
153	4, 152	mpcom 38	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   × cxp 5112  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Qcnq 9674  1_Qc1q 9675   +_Q cplq 9677   ·_Q cmq 9678  *_Qcrq 9679   <_Q cltq 9680  Pcnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  reclem3pr  9871