Theorem prlem936 9869

Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
prlem936	|- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. A -. ( x .Q B ) e. A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem prlem936

Dummy variables y z b u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9748	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 5168	. . . 4 |- ( 1Q <Q B -> ( 1Q e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simprd 479	. . 3 |- ( 1Q <Q B -> B e. Q. )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) -> B e. Q. )
5		breq2 4657	. . . . 5 |- ( b = B -> ( 1Q <Q b <-> 1Q <Q B ) )
6	5	anbi2d 740	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) <-> ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( x .Q b ) = ( x .Q B ) )
8	7	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( x .Q b ) e. A <-> ( x .Q B ) e. A ) )
9	8	notbid 308	. . . . 5 |- ( b = B -> ( -. ( x .Q b ) e. A <-> -. ( x .Q B ) e. A ) )
10	9	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( b = B -> ( E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A <-> E. x e. A -. ( x .Q B ) e. A ) )
11	6, 10	imbi12d 334	. . 3 |- ( b = B -> ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A ) <-> ( ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. A -. ( x .Q B ) e. A ) ) )
12		prn0 9811	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> A =/= (/) )
13		n0 3931	. . . . . 6 |- ( A =/= (/) <-> E. y y e. A )
14	12, 13	sylib 208	. . . . 5 |- ( A e. P. -> E. y y e. A )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) -> E. y y e. A )
16		elprnq 9813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ y e. A ) -> y e. Q. )
17	16	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> y e. Q. )
18		mulidnq 9785	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Q. -> ( y .Q 1Q ) = y )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> ( y .Q 1Q ) = y )
20		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> 1Q <Q b )
21		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Q. -> ( 1Q <Q b <-> ( y .Q 1Q ) <Q ( y .Q b ) ) )
22	21	biimpa 501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Q. /\ 1Q <Q b ) -> ( y .Q 1Q ) <Q ( y .Q b ) )
23	17, 20, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> ( y .Q 1Q ) <Q ( y .Q b ) )
24	19, 23	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> y <Q ( y .Q b ) )
25	1	brel 5168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1Q <Q b -> ( 1Q e. Q. /\ b e. Q. ) )
26	25	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1Q <Q b -> b e. Q. )
27	26	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> b e. Q. )
28		mulclnq 9769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. Q. /\ b e. Q. ) -> ( y .Q b ) e. Q. )
29	17, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> ( y .Q b ) e. Q. )
30		ltexnq 9797	. . . . . . . . 9 |- ( ( y .Q b ) e. Q. -> ( y <Q ( y .Q b ) <-> E. z ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> ( y <Q ( y .Q b ) <-> E. z ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) )
32	24, 31	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> E. z ( y +Q z ) = ( y .Q b ) )
33		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> A e. P. )
34		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
35	34	prlem934 9855	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> E. x e. A -. ( x +Q z ) e. A )
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> E. x e. A -. ( x +Q z ) e. A )
37	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> A e. P. )
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> ( y .Q b ) e. A )
39		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y +Q z ) = ( y .Q b ) -> ( ( y +Q z ) e. A <-> ( y .Q b ) e. A ) )
40	39	biimparc 504	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y .Q b ) e. A /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> ( y +Q z ) e. A )
41	38, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> ( y +Q z ) e. A )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( y +Q z ) e. A )
43		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ x e. A ) -> x e. Q. )
44	33, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> x e. Q. )
45		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ ( y +Q z ) e. A ) -> ( y +Q z ) e. Q. )
46		addnqf 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
47	46	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
48		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -. (/) e. Q.
49	47, 48	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +Q z ) e. Q. -> ( y e. Q. /\ z e. Q. ) )
50	49	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y +Q z ) e. Q. -> z e. Q. )
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ ( y +Q z ) e. A ) -> z e. Q. )
52	33, 41, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> z e. Q. )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> z e. Q. )
54		addclnq 9767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( x +Q z ) e. Q. )
55	44, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( x +Q z ) e. Q. )
56		prub 9816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ ( y +Q z ) e. A ) /\ ( x +Q z ) e. Q. ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) ) )
57	37, 42, 55, 56	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) ) )
58	27	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> b e. Q. )
59		mulclnq 9769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ b e. Q. ) -> ( x .Q b ) e. Q. )
60	44, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( x .Q b ) e. Q. )
61	17	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> y e. Q. )
62		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( y +Q z ) = ( y .Q b ) )
63		recclnq 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( *Q ` y ) e. Q. )
64		mulclnq 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. Q. /\ ( *Q ` y ) e. Q. ) -> ( z .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
65	63, 64	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( z .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
66	65	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( z .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. )
67		ltmnq 9794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) e. Q. -> ( y <Q x <-> ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y <Q x <-> ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
69		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( z .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) )
70		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( *Q ` y ) .Q y ) = ( y .Q ( *Q ` y ) )
71	70	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z .Q ( ( *Q ` y ) .Q y ) ) = ( z .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
72	69, 71	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = ( z .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
73		recidnq 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( z .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( z .Q 1Q ) )
75		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. Q. -> ( z .Q 1Q ) = z )
76	74, 75	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( z .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = z )
77	72, 76	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) = z )
78	77	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q y ) <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
79	68, 78	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y <Q x <-> z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
80	79	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ z e. Q. ) -> ( y <Q x <-> z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
81		mulnqf 9771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- .Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
82	81	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom .Q = ( Q. X. Q. )
83	82, 48	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x .Q b ) e. Q. -> ( x e. Q. /\ b e. Q. ) )
84	83	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x .Q b ) e. Q. -> x e. Q. )
85		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. Q. -> ( z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x .Q b ) e. Q. -> ( z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) ) )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) ) )
88		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- y e. _V
89		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x .Q ( *Q ` y ) ) e. _V
90		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u .Q w ) = ( w .Q u )
91		distrnq 9783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( u .Q ( w +Q v ) ) = ( ( u .Q w ) +Q ( u .Q v ) )
92	88, 34, 89, 90, 91	caovdir 6868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( y .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) +Q ( z .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) )
93		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- x e. _V
94		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( *Q ` y ) e. _V
95		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( u .Q w ) .Q v ) = ( u .Q ( w .Q v ) )
96	88, 93, 94, 90, 95	caov12 6862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
97	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y e. Q. -> ( x .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
98		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
99	84, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x .Q b ) e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
100	97, 99	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = x )
101	96, 100	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( y .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = x )
102		mulcomnq 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x .Q ( *Q ` y ) ) = ( ( *Q ` y ) .Q x )
103	102	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( z .Q ( ( *Q ` y ) .Q x ) )
104		mulassnq 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` y ) .Q x ) )
105	103, 104	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x )
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( z .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) )
107	101, 106	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( y .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) +Q ( z .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) ) = ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
108	92, 107	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) )
109	108	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x +Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) ) ) )
110	87, 109	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) ) )
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ z e. Q. ) -> ( z <Q ( ( z .Q ( *Q ` y ) ) .Q x ) <-> ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) ) )
112	80, 111	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ z e. Q. ) -> ( y <Q x <-> ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) ) )
113	112	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( z e. Q. /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) ) -> ( y <Q x <-> ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) ) )
114		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Q. -> ( y <Q x <-> ( z +Q y ) <Q ( z +Q x ) ) )
115		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z +Q y ) = ( y +Q z )
116		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z +Q x ) = ( x +Q z )
117	115, 116	breq12i 4662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +Q y ) <Q ( z +Q x ) <-> ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) )
118	114, 117	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( y <Q x <-> ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) ) )
119	118	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( z e. Q. /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) ) -> ( y <Q x <-> ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) ) )
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y +Q z ) = ( y .Q b ) -> ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( y .Q b ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) )
121		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- b e. _V
122	88, 121, 93, 90, 95, 94	caov411 6866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y .Q b ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( x .Q b ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) )
123	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. Q. -> ( ( x .Q b ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( ( x .Q b ) .Q 1Q ) )
124		mulidnq 9785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x .Q b ) e. Q. -> ( ( x .Q b ) .Q 1Q ) = ( x .Q b ) )
125	123, 124	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( x .Q b ) .Q ( y .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x .Q b ) )
126	122, 125	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( y .Q b ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x .Q b ) )
127	120, 126	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) = ( x .Q b ) )
128	127	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> ( ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) )
129	128	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( z e. Q. /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) ) -> ( ( x +Q z ) <Q ( ( y +Q z ) .Q ( x .Q ( *Q ` y ) ) ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) )
130	113, 119, 129	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x .Q b ) e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( z e. Q. /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) ) -> ( ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) )
131	60, 61, 53, 62, 130	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( ( y +Q z ) <Q ( x +Q z ) <-> ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) )
132	57, 131	sylibd 229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) )
133		prcdnq 9815	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ ( x .Q b ) e. A ) -> ( ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) -> ( x +Q z ) e. A ) )
134	133	impancom 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) -> ( ( x .Q b ) e. A -> ( x +Q z ) e. A ) )
135	134	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> -. ( x .Q b ) e. A ) )
136	135	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> ( ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> -. ( x .Q b ) e. A ) ) )
137	136	com23 86	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. P. -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> ( ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) -> -. ( x .Q b ) e. A ) ) )
138	37, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> ( ( x +Q z ) <Q ( x .Q b ) -> -. ( x .Q b ) e. A ) ) )
139	132, 138	mpdd 43	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) /\ x e. A ) -> ( -. ( x +Q z ) e. A -> -. ( x .Q b ) e. A ) )
140	139	reximdva 3017	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> ( E. x e. A -. ( x +Q z ) e. A -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A ) )
141	36, 140	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) /\ ( y +Q z ) = ( y .Q b ) ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A )
142	32, 141	exlimddv 1863	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ ( y e. A /\ ( y .Q b ) e. A ) ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A )
143	142	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ y e. A ) -> ( ( y .Q b ) e. A -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A ) )
144		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x .Q b ) = ( y .Q b ) )
145	144	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x .Q b ) e. A <-> ( y .Q b ) e. A ) )
146	145	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( -. ( x .Q b ) e. A <-> -. ( y .Q b ) e. A ) )
147	146	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ -. ( y .Q b ) e. A ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A )
148	147	ex 450	. . . . . 6 |- ( y e. A -> ( -. ( y .Q b ) e. A -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A ) )
149	148	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ y e. A ) -> ( -. ( y .Q b ) e. A -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A ) )
150	143, 149	pm2.61d 170	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) /\ y e. A ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A )
151	15, 150	exlimddv 1863	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q b ) -> E. x e. A -. ( x .Q b ) e. A )
152	11, 151	vtoclg 3266	. 2 |- ( B e. Q. -> ( ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. A -. ( x .Q B ) e. A ) )
153	4, 152	mpcom 38	1 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q B ) -> E. x e. A -. ( x .Q B ) e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   +Q cplq 9677   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803

This theorem is referenced by:  reclem3pr  9871