Theorem ress1r 29789

Description: 1_r is unaffected by restriction. This is a bit more generic than subrg1 18790. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ress1r.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ress1r.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress1r.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ress1r	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem ress1r

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ress1r.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ress1r.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas2 15931	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = (Base‘𝑆))
4	3	3ad2ant3 1084	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5		simp3 1063	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
6		fvex 6201	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
7	2, 6	eqeltri 2697	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		ssexg 4804	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
9	5, 7, 8	sylancl 694	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
11	1, 10	ressmulr 16006	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
12	9, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
13		simp2 1062	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 ∈ 𝐴)
14		simpl1 1064	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
15	5	sselda 3603	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16		ress1r.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
17	2, 10, 16	ringlidm 18571	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
18	14, 15, 17	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ( 1 (.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥)
19	2, 10, 16	ringridm 18572	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
20	14, 15, 19	syl2anc 693	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(.r‘𝑅) 1 ) = 𝑥)
21	4, 12, 13, 18, 20	rngurd 29788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  ._rcmulr 15942  1_rcur 18501  Ringcrg 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549

This theorem is referenced by:  xrge0slmod  29844