Theorem xrge0slmod 29844

Description: The extended nonnegative real numbers form a semiring left module. One could also have used subringAlg to get the same structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0slmod.1	⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
xrge0slmod.2	⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0slmod	⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Proof of Theorem xrge0slmod

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0slmod.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
2		xrge0cmn 19788	. . . 4 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ CMnd
4		ovex 6678	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
5		xrge0slmod.2	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐺 ↾v (0[,)+∞))
6	5	resvcmn 29838	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd))
7	4, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ CMnd ↔ 𝑊 ∈ CMnd)
8	3, 7	mpbi 220	. 2 ⊢ 𝑊 ∈ CMnd
9		rge0srg 19817	. 2 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing
10		icossicc 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
11		simplr 792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,)+∞))
12	10, 11	sseldi 3601	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ (0[,]+∞))
13		simprr 796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ (0[,]+∞))
14		ge0xmulcl 12287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
15	12, 13, 14	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞))
16		simprl 794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
17		xrge0adddi 29693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
18	13, 16, 12, 17	syl3anc 1326	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)))
19		rge0ssre 12280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
20		simpll 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,)+∞))
21	19, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ)
22	19, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ)
23		rexadd 12063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 +𝑒 𝑟) = (𝑞 + 𝑟))
25	24	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤))
26	10, 20	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ (0[,]+∞))
27		xrge0adddir 29692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
28	26, 12, 13, 27	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 +𝑒 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
29	25, 28	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤)))
30	15, 18, 29	3jca 1242	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))))
31		rexmul 12101	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
32	21, 22, 31	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (𝑞 ·e 𝑟) = (𝑞 · 𝑟))
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤))
34	21	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑞 ∈ ℝ*)
35	22	rexrd 10089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
36		iccssxr 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
37	36, 13	sseldi 3601	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → 𝑤 ∈ ℝ*)
38		xmulass 12117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑞 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 ·e 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
40	33, 39	eqtr3d 2658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → ((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)))
41		xmulid2 12110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
42	37, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (1 ·e 𝑤) = 𝑤)
43		xmul02 12098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ ℝ* → (0 ·e 𝑤) = 0)
44	37, 43	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (0 ·e 𝑤) = 0)
45	40, 42, 44	3jca 1242	. . . . 5 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
46	30, 45	jca 554	. . . 4 ⊢ (((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑤 ∈ (0[,]+∞))) → (((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
47	46	ralrimivva 2971	. . 3 ⊢ ((𝑞 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑟 ∈ (0[,)+∞)) → ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0)))
48	47	rgen2a 2977	. 2 ⊢ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))
49		xrge0base 29685	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
50	1	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
51	49, 50	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝐺)
52	5, 51	resvbas 29832	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (0[,]+∞) = (Base‘𝑊))
53	4, 52	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) = (Base‘𝑊)
54		xrge0plusg 29687	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
55	1	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
56	54, 55	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝐺)
57	5, 56	resvplusg 29833	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑊))
58	4, 57	ax-mp 5	. . 3 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑊)
59		ovex 6678	. . . . . 6 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
60		ax-xrsvsca 29674	. . . . . . 7 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘ℝ*𝑠)
61	1, 60	ressvsca 16032	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺))
62	59, 61	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝐺)
63	5, 62	resvvsca 29834	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊))
64	4, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ·e = ( ·𝑠 ‘𝑊)
65		xrge00 29686	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
66	1	fveq2i 6194	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
67	65, 66	eqtr4i 2647	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
68	5, 67	resv0g 29836	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → 0 = (0g‘𝑊))
69	4, 68	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
70		df-refld 19951	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
71	70	oveq1i 6660	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞))
72		reex 10027	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
73		ressress 15938	. . . . . 6 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))))
74	72, 4, 73	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ ((ℂfld ↾s ℝ) ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
75	71, 74	eqtri 2644	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞)))
76		ax-xrssca 29673	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘ℝ*𝑠)
77	1, 76	resssca 16031	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ V → ℝfld = (Scalar‘𝐺))
78	59, 77	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ℝfld = (Scalar‘𝐺)
79		rebase 19952	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
80	5, 78, 79	resvsca 29830	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊))
81	4, 80	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
82		incom 3805	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (ℝ ∩ (0[,)+∞))
83		df-ss 3588	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞))
84	19, 83	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((0[,)+∞) ∩ ℝ) = (0[,)+∞)
85	82, 84	eqtr3i 2646	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ (0[,)+∞)) = (0[,)+∞)
86	85	oveq2i 6661	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s (ℝ ∩ (0[,)+∞))) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
87	75, 81, 86	3eqtr3ri 2653	. . 3 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (Scalar‘𝑊)
88		ax-resscn 9993	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
89	19, 88	sstri 3612	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
90		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) = (ℂfld ↾s (0[,)+∞))
91		cnfldbas 19750	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
92	90, 91	ressbas2 15931	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
93	89, 92	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) = (Base‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
94		cnfldadd 19751	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
95	90, 94	ressplusg 15993	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
96	4, 95	ax-mp 5	. . 3 ⊢ + = (+g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
97		cnfldmul 19752	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
98	90, 97	ressmulr 16006	. . . 4 ⊢ ((0[,)+∞) ∈ V → · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
99	4, 98	ax-mp 5	. . 3 ⊢ · = (.r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
100		cndrng 19775	. . . . 5 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
101		drngring 18754	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ DivRing → ℂfld ∈ Ring)
102	100, 101	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
103		1re 10039	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
104		0le1 10551	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 1
105		ltpnf 11954	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
106	103, 105	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 1 < +∞
107	103, 104, 106	3pm3.2i 1239	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
108		0re 10040	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
109		pnfxr 10092	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
110		elico2 12237	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
111	108, 109, 110	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
112	107, 111	mpbir 221	. . . 4 ⊢ 1 ∈ (0[,)+∞)
113		cnfld1 19771	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
114	90, 91, 113	ress1r 29789	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Ring ∧ 1 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
115	102, 112, 89, 114	mp3an 1424	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
116		ringmnd 18556	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
117	100, 101, 116	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
118		0e0icopnf 12282	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
119		cnfld0 19770	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
120	90, 91, 119	ress0g 17319	. . . 4 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 0 ∈ (0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞))))
121	117, 118, 89, 120	mp3an 1424	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘(ℂfld ↾s (0[,)+∞)))
122	53, 58, 64, 69, 87, 93, 96, 99, 115, 121	isslmd 29755	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ SLMod ↔ (𝑊 ∈ CMnd ∧ (ℂfld ↾s (0[,)+∞)) ∈ SRing ∧ ∀𝑞 ∈ (0[,)+∞)∀𝑟 ∈ (0[,)+∞)∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑤 ∈ (0[,]+∞)(((𝑟 ·e 𝑤) ∈ (0[,]+∞) ∧ (𝑟 ·e (𝑤 +𝑒 𝑥)) = ((𝑟 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑥)) ∧ ((𝑞 + 𝑟) ·e 𝑤) = ((𝑞 ·e 𝑤) +𝑒 (𝑟 ·e 𝑤))) ∧ (((𝑞 · 𝑟) ·e 𝑤) = (𝑞 ·e (𝑟 ·e 𝑤)) ∧ (1 ·e 𝑤) = 𝑤 ∧ (0 ·e 𝑤) = 0))))
123	8, 9, 48, 122	mpbir3an 1244	1 ⊢ 𝑊 ∈ SLMod

Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   · cmul 9941  +∞cpnf 10071  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075   +_𝑒 cxad 11944   ·_e cxmu 11945  [,)cico 12177  [,]cicc 12178  Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  +_gcplusg 15941  ._rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100  ℝ^*_𝑠cxrs 16160  Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193  1_rcur 18501  SRingcsrg 18505  Ringcrg 18547  DivRingcdr 18747  ℂ_fldccnfld 19746  ℝ_fldcrefld 19950  SLModcslmd 29753   ↾_v cresv 29824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-xrssca 29673  ax-xrsvsca 29674

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-xrs 16162  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-slmd 29754  df-resv 29825

This theorem is referenced by: (None)