Theorem strlemor3OLD 15971

Description: Add three elements to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 15968. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
strlemor.f	⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o	⊢ 𝐼 < 𝐽
strlemor.j	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a	⊢ 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o	⊢ 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b	⊢ 𝐵 = 𝐾
strlemor3.o	⊢ 𝐾 < 𝐿
strlemor3.l	⊢ 𝐿 ∈ ℕ
strlemor3.c	⊢ 𝐶 = 𝐿
strlemor3.g	⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})

Assertion

Ref	Expression
strlemor3OLD	⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Proof of Theorem strlemor3OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strlemor.f	. . 3 ⊢ (Fun ◡◡𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2		strlemor.i	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ0
3		strlemor.o	. . 3 ⊢ 𝐼 < 𝐽
4		strlemor.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
5		strlemor.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐽
6		strlemor2.o	. . 3 ⊢ 𝐽 < 𝐾
7		strlemor2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
8		strlemor2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = 𝐾
9		eqid 2622	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strlemor2OLD 15970	. 2 ⊢ (Fun ◡◡(𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ⊆ (1...𝐾))
11	7	nnnn0i 11300	. 2 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ0
12		strlemor3.o	. 2 ⊢ 𝐾 < 𝐿
13		strlemor3.l	. 2 ⊢ 𝐿 ∈ ℕ
14		strlemor3.c	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐿
15		df-tp 4182	. . . 4 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
16	15	uneq2i 3764	. . 3 ⊢ (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
17		strlemor3.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
18		unass 3770	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
19	16, 17, 18	3eqtr4i 2654	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
20	10, 11, 12, 13, 14, 19	strlemor1OLD 15969	1 ⊢ (Fun ◡◡𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Syntax hints:   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  {csn 4177  {cpr 4179  {ctp 4181  ⟨cop 4183   class class class wbr 4653  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  Fun wfun 5882  (class class class)co 6650  1c1 9937   < clt 10074  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)