Theorem mulge0d 10604

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 10546	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1327	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936   · cmul 9941   ≤ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  supmul1  10992  mul2lt0bi  11936  faclbnd6  13086  sqrtmul  14000  sqreulem  14099  climcnds  14583  lcmgcdlem  15319  nmoi  22532  nmoleub2lem3  22915  ipcau2  23033  trirn  23183  itg1ge0  23453  itg1ge0a  23478  itgmulc2lem1  23598  bddmulibl  23605  dvlip  23756  dvfsumlem4  23792  dvfsum2  23797  plyeq0lem  23966  radcnvlem1  24167  dvradcnv  24175  cxpsqrtlem  24448  abscxpbnd  24494  heron  24565  asinlem3  24598  vmadivsum  25171  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem2  25179  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0re  25202  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  selbergb  25238  selberg2lem  25239  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  selberg3lem2  25247  selberg4lem1  25249  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntlemn  25289  ostth2lem3  25324  ttgcontlem1  25765  brbtwn2  25785  colinearalglem4  25789  ax5seglem3  25811  branmfn  28964  eulerpartlemgc  30424  hgt750lemf  30731  hgt750lemb  30734  hgt750lema  30735  iblmulc2nc  33475  itgmulc2nclem1  33476  geomcau  33555  rrnequiv  33634  pellexlem2  37394  pellexlem6  37398  pell1qrge1  37434  rmxypos  37514  ltrmxnn0  37516  nzprmdif  38518  xralrple3  39590  fmul01  39812  dvbdfbdioolem2  40144  stoweidlem1  40218  stoweidlem16  40233  stoweidlem26  40243  stoweidlem38  40255  wallispilem4  40285  wallispi  40287  wallispi2lem1  40288  stirlinglem1  40291  stirlinglem5  40295  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem15  40305  stirlingr  40307  fourierdlem42  40366  rrndistlt  40510