Theorem gt0ne0d 10592

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
gt0ne0d.1	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0d	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem gt0ne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10040	. 2 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		gt0ne0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
3		ltne 10134	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
4	1, 2, 3	sylancr 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ℝcr 9935  0cc0 9936   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  recextlem2  10658  prodgt0  10868  ltdiv1  10887  ltmuldiv  10896  ltrec  10905  lerec  10906  lediv12a  10916  recp1lt1  10921  ledivp1  10925  supmul1  10992  rpnnen1lem5  11818  rpnnen1lem5OLD  11824  ltexp2a  12912  leexp2  12915  leexp2a  12916  expnbnd  12993  expmulnbnd  12996  discr1  13000  eqsqrt2d  14108  bpoly4  14790  isabvd  18820  gzrngunit  19812  fvmptnn04ifa  20655  chfacffsupp  20661  chfacfscmul0  20663  chfacfpmmul0  20667  stdbdxmet  22320  evth  22758  itg2monolem3  23519  mvth  23755  dvlip  23756  dvcvx  23783  ftc1lem4  23802  dgradd2  24024  radcnvlem1  24167  pilem2  24206  coseq00topi  24254  tangtx  24257  tanabsge  24258  tanord1  24283  logcnlem4  24391  cxplt  24440  atantan  24650  jensenlem2  24714  jensen  24715  lgamgulmlem2  24756  basellem3  24809  basellem4  24810  basellem8  24814  dchrmusumlema  25182  selberg3lem1  25246  abvcxp  25304  ostth2  25326  axsegconlem8  25804  axsegconlem9  25805  axsegconlem10  25806  axpaschlem  25820  axcontlem2  25845  axcontlem4  25847  axcontlem7  25850  iswwlksnx  26731  wspn0  26820  friendshipgt3  27256  his6  27956  eigrei  28693  xrge0iifcv  29980  sgnmul  30604  sgn0bi  30609  sgnmulsgp  30612  signsvfpn  30662  tgoldbachgtde  30738  tgoldbachgtda  30739  knoppndvlem18  32520  knoppndvlem19  32521  knoppndvlem21  32523  ftc1cnnclem  33483  areacirclem1  33500  irrapxlem2  37387  irrapxlem5  37390  pellexlem2  37394  imo72b2  38475  binomcxplemnotnn0  38555  dvdivbd  40138  dvbdfbdioolem1  40143  ioodvbdlimc1lem1  40146  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  stoweidlem7  40224  stoweidlem36  40253  wallispilem3  40284  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  stirlinglem3  40293  stirlinglem6  40296  stirlinglem7  40297  stirlinglem10  40300  stirlinglem11  40301  stirlinglem12  40302  stirlinglem13  40303  stirlinglem14  40304  stirlinglem15  40305  dirkerval2  40311  dirkeritg  40319  dirkercncflem2  40321  fourierdlem6  40330  fourierdlem7  40331  fourierdlem19  40343  fourierdlem26  40350  fourierdlem30  40354  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem63  40386  fourierdlem64  40387  fourierdlem71  40394  fourierdlem89  40412  fourierdlem90  40413  fourierdlem91  40414  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem112  40435  sqwvfoura  40445  fourierswlem  40447  etransclem4  40455  etransclem31  40482  etransclem32  40483  iccpartgt  41363  rege1logbrege0  42352