Theorem uncdadom 8993

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsneng 8045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4		ensym 8005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5		endom 7982	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7		1on 7567	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
8		xpsneng 8045	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan2 707	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10		ensym 8005	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11		endom 7982	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13		xp01disj 7576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14		undom 8048	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
15	13, 14	mpan2 707	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
16	6, 12, 15	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17		cdaval 8992	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
18	16, 17	breqtrrd 4681	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572   ∩ cin 3573  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653   × cxp 5112  Oncon0 5723  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   ≈ cen 7952   ≼ cdom 7953   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  cdadom3  9010  unnum  9022  ficardun2  9025  pwsdompw  9026  unctb  9027  infunabs  9029  infcda  9030  infdif  9031