Theorem wlkdlem2 26580

Description: Lemma 2 for wlkd 26583. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkd.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
wlkd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
wlkd.l	⊢ (𝜑 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
wlkd.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
wlkdlem2	⊢ (𝜑 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘

Proof of Theorem wlkdlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
2		fzo0end 12560	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)))
4		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑘 + 1) = (((#‘𝐹) − 1) + 1))
5	4	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)))
6	3, 5	preq12d 4276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} = {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))})
7		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) = (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
9	6, 8	sseq12d 3634	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = ((#‘𝐹) − 1) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
10	9	rspcv 3305	. . . . 5 ⊢ (((#‘𝐹) − 1) ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
11	2, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
12		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ V
13		fvex 6201	. . . . . 6 ⊢ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ V
14	12, 13	prss 4351	. . . . 5 ⊢ (((𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ↔ {(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))))
15		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
16		npcan1 10455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℂ → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (((#‘𝐹) − 1) + 1) = (#‘𝐹))
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) = (𝑃‘(#‘𝐹)))
19	18	eleq1d 2686	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ↔ (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
20	19	biimpd 219	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
21	20	adantld 483	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (((𝑃‘((#‘𝐹) − 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) ∧ (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
22	14, 21	syl5bir 233	. . . 4 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ({(𝑃‘((#‘𝐹) − 1)), (𝑃‘(((#‘𝐹) − 1) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1))) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
23	11, 22	syld 47	. . 3 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
24	1, 23	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))))
25		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘𝑘) ∈ V
26		fvex 6201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ V
27	25, 26	prss 4351	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) ↔ {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
28		simpl 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
29	27, 28	sylbir 225	. . . . 5 ⊢ ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))) → ({(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → (𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
31	30	ralimdva 2962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))
32	1, 31	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
33	24, 32	jca 554	1 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑃‘(#‘𝐹)) ∈ (𝐼‘(𝐹‘((#‘𝐹) − 1)))) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ (𝐼‘(𝐹‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   − cmin 10266  ℕcn 11020  ..^cfzo 12465  #chash 13117  Word cword 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  wlkdlem3  26581