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Theorem wlkdlem2 26580
Description: Lemma 2 for wlkd 26583. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkd.p |- ( ph -> P e. Word _V )
wlkd.f |- ( ph -> F e. Word _V )
wlkd.l |- ( ph -> ( # ` P ) = ( ( # ` F ) + 1 ) )
wlkd.e |- ( ph -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
Assertion
Ref Expression
wlkdlem2 |- ( ph -> ( ( ( # ` F ) e. NN -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, F   P, k   k, I   ph, k
Proof of Theorem wlkdlem2
StepHypRef Expression
1 wlkd.e . . 3 |- ( ph -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
2 fzo0end 12560 . . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
3 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( P ` k ) = ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
4 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( k + 1 ) = ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) )
54fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( P ` ( k + 1 ) ) = ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) )
63, 5preq12d 4276 . . . . . . 7 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } = { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } )
7 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
87fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( I ` ( F ` k ) ) = ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
96, 8sseq12d 3634 . . . . . 6 |- ( k = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) <-> { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
109rspcv 3305 . . . . 5 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
112, 10syl 17 . . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
12 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) e. _V
13 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) e. _V
1412, 13prss 4351 . . . . 5 |- ( ( ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) /\ ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) <-> { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
15 nncn 11028 . . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( # ` F ) e. CC )
16 npcan1 10455 . . . . . . . . . 10 |- ( ( # ` F ) e. CC -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) = ( # ` F ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) = ( # ` F ) )
1817fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) = ( P ` ( # ` F ) ) )
1918eleq1d 2686 . . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) <-> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
2019biimpd 219 . . . . . 6 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
2120adantld 483 . . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) /\ ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
2214, 21syl5bir 233 . . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( { ( P ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) , ( P ` ( ( ( # ` F ) - 1 ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
2311, 22syld 47 . . 3 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
241, 23syl5com 31 . 2 |- ( ph -> ( ( # ` F ) e. NN -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
25 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( P ` k ) e. _V
26 fvex 6201 . . . . . . 7 |- ( P ` ( k + 1 ) ) e. _V
2725, 26prss 4351 . . . . . 6 |- ( ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) <-> { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) )
28 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) /\ ( P ` ( k + 1 ) ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
2927, 28sylbir 225 . . . . 5 |- ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
3029a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
3130ralimdva 2962 . . 3 |- ( ph -> ( A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) { ( P ` k ) , ( P ` ( k + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` k ) ) -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
321, 31mpd 15 . 2 |- ( ph -> A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) )
3324, 32jca 554 1 |- ( ph -> ( ( ( # ` F ) e. NN -> ( P ` ( # ` F ) ) e. ( I ` ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) /\ A. k e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ( P ` k ) e. ( I ` ( F ` k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  wlkdlem3  26581
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