Theorem xlt2addrd 29523

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
xlt2addrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
xlt2addrd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
xlt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem xlt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlt2addrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10089	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 762	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		0xr 10086	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
6		xaddid1 12072	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2628	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
9	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		ltpnf 11954	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
12		simplr 792	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 = +∞)
13	11, 12	breqtrrd 4681	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
14		0ltpnf 11956	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
15		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
16	14, 15	syl5breqr 4691	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 < 𝐶)
17		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 𝑐))
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐)))
19		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
20	18, 19	3anbi12d 1400	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
21		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 0))
22	21	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0)))
23		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑐 < 𝐶 ↔ 0 < 𝐶))
24	22, 23	3anbi13d 1401	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)))
25	20, 24	rspc2ev 3324	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
26	3, 5, 8, 13, 16, 25	syl113anc 1338	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
27	2	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		xlt2addrd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
29	28	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
30		1re 10039	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
31	30	rexri 10097	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 1 ∈ ℝ*)
33	32	xnegcld 12130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
34	29, 33	xaddcld 12131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
35	34	xnegcld 12130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
36	27, 35	xaddcld 12131	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
37	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
39		xrnepnf 11952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
40	39	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
41	29, 40	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
42	41	orcomd 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
43		xlt2addrd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
45	44	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
46		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 = -∞ → 𝐶 ∈ ℝ))
47	42, 45, 46	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
48		rexsub 12064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
49	47, 30, 48	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
50		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
51	47, 30, 50	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
53		rexneg 12042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
55	52	renegcld 10457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
56	54, 55	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
57	56	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
58	52	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
59		xaddass 12079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
60	27, 38, 35, 57, 34, 58, 59	syl222anc 1342	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
61		xaddcom 12071	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
62	35, 34, 61	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
63		xnegid 12069	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
64	34, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2656	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
66	65	oveq2d 6666	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
67	27, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
68	60, 66, 67	3eqtrrd 2661	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
69	37, 51	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ)
70		ltpnf 11954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
72		rexsub 12064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
73	37, 52, 72	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
74	49	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
75	73, 74	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
76		simplr 792	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 = +∞)
77	71, 75, 76	3brtr4d 4685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵)
78	47	ltm1d 10956	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) < 𝐶)
79	49, 78	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)
80		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐))
81	80	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐)))
82		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵))
83	81, 82	3anbi12d 1400	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
84		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
85	84	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
86		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶))
87	85, 86	3anbi13d 1401	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)))
88	83, 87	rspc2ev 3324	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
89	36, 34, 68, 77, 79, 88	syl113anc 1338	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
90	26, 89	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
91		xlt2addrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
92	91	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
93	31	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 1 ∈ ℝ*)
94	93	xnegcld 12130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
95	92, 94	xaddcld 12131	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
96	2	ad2antrr 762	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
97	95	xnegcld 12130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
98	96, 97	xaddcld 12131	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
99		xaddcom 12071	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
100	95, 98, 99	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
101	1	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
102	101	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
103		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
104		xrnepnf 11952	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
105	104	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
106	92, 103, 105	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
107	106	orcomd 403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
108		xlt2addrd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
109	108	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
110	109	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
111		pm2.53 388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
112	107, 110, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
113		rexsub 12064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
114	112, 30, 113	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
115		resubcl 10345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
116	112, 30, 115	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
117	114, 116	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
118		rexneg 12042	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
120	117	renegcld 10457	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
121	119, 120	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
122	121	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
123	117	renemnfd 10091	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
124		xaddass 12079	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
125	96, 102, 97, 122, 95, 123, 124	syl222anc 1342	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
126		xaddcom 12071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
127	97, 95, 126	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
128		xnegid 12069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
129	95, 128	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
130	127, 129	eqtrd 2656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
131	130	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
132	96, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
133	131, 132	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = 𝐴)
134	100, 125, 133	3eqtrrd 2661	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
135	112	ltm1d 10956	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
136	114, 135	eqbrtrd 4675	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵)
137	101, 116	resubcld 10458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
138		ltpnf 11954	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
139	137, 138	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
140		rexsub 12064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
141	101, 117, 140	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
142	114	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
143	141, 142	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
144		simpr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
145	139, 143, 144	3brtr4d 4685	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)
146		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐))
147	146	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐)))
148		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵))
149	147, 148	3anbi12d 1400	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
150		oveq2 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
151	150	eqeq2d 2632	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))))
152		breq1 4656	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶))
153	151, 152	3anbi13d 1401	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)))
154	149, 153	rspc2ev 3324	. . . 4 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
155	95, 98, 134, 136, 145, 154	syl113anc 1338	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
156	1	ad2antrr 762	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
157	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
158		simplr 792	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
159	157, 158, 105	syl2anc 693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
160	159	orcomd 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
161	108	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
162	161	neneqd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
163	160, 162, 111	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
164	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
165	164, 40	sylancom 701	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
166	165	orcomd 403	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
167	43	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
168	167	neneqd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
169	166, 168, 46	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
170		xlt2addrd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
171	170	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
172		rexadd 12063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
173	163, 169, 172	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
174	171, 173	breqtrd 4679	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
175	156, 163, 169, 174	lt2addrd 29516	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
176		rexadd 12063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
177	176	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝑏 + 𝑐)))
178	177	3anbi1d 1403	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
179	178	2rexbiia 3055	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
180	175, 179	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
181		ressxr 10083	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
182		ssrexv 3667	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
184	183	reximi 3011	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
185		ssrexv 3667	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
186	181, 185	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
187	180, 184, 186	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
188	155, 187	pm2.61dane 2881	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
189	90, 188	pm2.61dane 2881	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   − cmin 10266  -cneg 10267  -_𝑒cxne 11943   +_𝑒 cxad 11944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947

This theorem is referenced by:  xrofsup  29533