Theorem renegcld 10457

Description: Closure law for negative of reals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
renegcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
renegcld	⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 10344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  ℝcr 9935  -cneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  ltord2  10557  leord2  10558  eqord2  10559  possumd  10652  recgt0  10867  prodge0  10870  riotaneg  11002  negiso  11003  nn0negleid  11345  difgtsumgt  11346  nnnegz  11380  modsub12d  12727  monoord2  12832  discr1  13000  discr  13001  recj  13864  reneg  13865  imcj  13872  imneg  13873  abslt  14054  absle  14055  o1lo1  14268  o1lo12  14269  icco1  14271  rlimrege0  14310  lo1sub  14361  iseraltlem2  14413  infcvgaux1i  14589  absefib  14928  efieq1re  14929  moddvds  14991  bitscmp  15160  bitsinv1lem  15163  mulgnegnn  17551  cnsubrg  19806  xrhmeo  22745  pjthlem1  23208  ivth2  23224  ovolshft  23279  shftmbl  23306  volsup2  23373  volivth  23375  mbfmulc2lem  23414  mbfposr  23419  mbfposb  23420  ismbf3d  23421  mbfmulc2  23430  mbfinf  23432  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  mbfi1fseqlem6  23487  mbfi1flimlem  23489  itg2monolem1  23517  iblposlem  23558  iblre  23560  itgreval  23563  itgneg  23570  i1fibl  23574  itgitg1  23575  itgle  23576  ibladd  23587  itgaddlem2  23590  iblabslem  23594  itgmulc2lem2  23599  itgmulc2  23600  dvferm2lem  23749  dvferm2  23750  rolle  23753  dvivth  23773  lhop2  23778  dvfsumge  23785  dvfsumlem2  23790  dvfsum2  23797  coseq0negpitopi  24255  tanabsge  24258  tanord  24284  tanregt0  24285  abslogimle  24320  logcj  24352  argimgt0  24358  logdiv2  24363  logcnlem3  24390  dvloglem  24394  logccv  24409  abscxpbnd  24494  logreclem  24500  asinlem3a  24597  asinneg  24613  atanlogsublem  24642  atantan  24650  atans2  24658  birthdaylem3  24680  cxplim  24698  amgmlem  24716  emcllem7  24728  zetacvg  24741  eldmgm  24748  lgamgulmlem2  24756  lgsneg  25046  lgsdilem  25049  lgseisenlem1  25100  pntpbnd1  25275  pntibndlem2  25280  padicabvcxp  25321  ostth3  25327  axsegconlem9  25805  nvabs  27527  pjhthlem1  28250  xlt2addrd  29523  xrge0iifcnv  29979  xrge0iifiso  29981  xrge0iifhom  29983  dya2ub  30332  sgnmul  30604  signsply0  30628  fdvneggt  30678  fdvnegge  30680  climlec3  31619  poimirlem29  33438  itg2gt0cn  33465  ibladdnc  33467  itgaddnclem2  33469  iblabsnclem  33473  itgmulc2nclem2  33477  itgmulc2nc  33478  bddiblnc  33480  ftc1anclem5  33489  dvasin  33496  areacirclem1  33500  areacirclem4  33503  areacirclem5  33504  areacirc  33505  pellexlem6  37398  pell1234qrdich  37425  acongeq  37550  radcnvrat  38513  binomcxplemdvbinom  38552  binomcxplemnotnn0  38555  infnsuprnmpt  39465  neglt  39496  fperiodmul  39518  supsubc  39569  ltmulneg  39615  rexabslelem  39645  supminfrnmpt  39672  leneg2d  39676  leneg3d  39687  supminfxr  39694  climliminflimsupd  40033  liminfreuzlem  40034  liminfltlem  40036  stoweidlem1  40218  stoweidlem7  40224  stoweidlem13  40230  stoweidlem23  40240  stoweidlem34  40251  stoweidlem42  40259  stoweidlem47  40264  stirlinglem6  40296  stirlinglem10  40300  fourierdlem24  40348  fourierdlem39  40363  fourierdlem40  40364  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  fourierdlem46  40369  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem58  40381  fourierdlem62  40385  fourierdlem72  40395  fourierdlem78  40401  fourierdlem83  40406  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem92  40415  fourierdlem97  40420  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  fourierdlem109  40432  fourierdlem111  40434  fourierdlem112  40435  sqwvfoura  40445  etransclem23  40474  etransclem46  40497  hoicvr  40762  hoicvrrex  40770  smfinflem  41023  smfliminflem  41036  sigaradd  41055  proththd  41531  dignn0flhalflem1  42409  amgmwlem  42548