Theorem ltm1d 10956

Description: A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltm1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Proof of Theorem ltm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltm1 10863	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 1) < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  ℝcr 9935  1c1 9937   < clt 10074   − cmin 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  suprzcl  11457  fzsuc2  12398  fzm1  12420  m1modnnsub1  12716  cshwidxm1  13553  fsumm1  14480  isumsplit  14572  climcndslem1  14581  bitsfzolem  15156  fldivp1  15601  4sqlem12  15660  ram0  15726  sylow1lem1  18013  dgreq0  24021  atanlogsublem  24642  birthdaylem3  24680  wilthlem1  24794  ftalem5  24803  basellem5  24811  lgsval2lem  25032  lgsqrlem2  25072  gausslemma2dlem0c  25083  lgsquadlem1  25105  lgsquadlem2  25106  pntrsumbnd2  25256  axlowdimlem16  25837  pthdlem1  26662  clwwlksel  26914  numclwwlkovf2exlem2  27212  xlt2addrd  29523  cvmliftlem6  31272  cvmliftlem8  31274  cvmliftlem9  31275  cvmliftlem10  31276  bcprod  31624  iooelexlt  33210  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem12  33421  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem26  33435  mettrifi  33553  irrapxlem1  37386  rmspecsqrtnq  37470  rmspecsqrtnqOLD  37471  acongeq  37550  monoords  39511  fzisoeu  39514  fzdifsuc2  39525  infleinflem2  39587  unb2ltle  39642  limsupre3lem  39964  xlimxrre  40057  xlimmnfv  40060  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem11  40228  stoweidlem14  40231  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem41  40365  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem50  40373  fourierdlem79  40402  ioorrnopnxrlem  40526  iundjiun  40677  lswn0  41380  bgoldbtbndlem4  41696  m1modmmod  42316  logbpw2m1  42361